石取りゲームといえば「石が30個あり、自分の番には最低1個から最大3個取らなければならない。最後の一つを取ったら負け。」のようなルールが一般的だと思います。

この場合、必勝法としては自分の番で4の倍数+1の数にしておけば勝てます。

しかしこれでは面白くないので、このゲームを難しくしようとしてみました。
そこで、石が50個あり「取れる石の数が3~6個」、というルールではどうかと思ったのですが、取る石の数が逆算出来ません><

どなたか数学の得意な方ご回答よろしくお願いします!

できれば、方程式で書いていただけるとありがたいです。
(最初の例なら 石の数=a  石を取れる最大数=b 取る数=xとすると、
 x=(a-1)/(b+1) この1が石を取れる最低数の1ってことなのでしょうか.....)

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A 回答 (3件)

No.2です。



方程式ね、すいません書いてないですね><

>石取りゲームといえば「石が30個あり、自分の番には最低1個から最大3個取らなければならない。
>最後の一つを取ったら負け。」のようなルールが一般的だと思います。

こっちを一般化しますね。

石の総数 M とします。 取る事のできる最小値は必ず1。最大値をb とします。

M,bともに (0を含まない)自然数とします。 (当然だけど、 M-1>b+1)

(M-1) mod (b+1) =x (x=0,1,2,3,・・・b)

x=0のとき、後手必勝。 x≠0のとき 先手必勝。

xを取り、相手と自分との取った石の合計が 常に(b+1)となるように取れば、勝ちです。

m(_ _)m
 
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この回答へのお礼

modというのは前の数を後ろの数で割った余りということですね!
方程式、書いていただいてありがとうございます。

回答ありがとうございました!

お礼日時:2011/04/25 00:06

こんばんは。



これは、群論という分野の「剰余群」というのになるかと思います。

最初の例ですと、2人で取れる数は 必ず4にできるわけですね。

1取れば3 1+3=4 
2取れば2 2+2=4 以下略

30を4で割った余りは2 (30mod4=2 数式はこうなります)。

最後の一個を取ったら負け! なので、29の地点 29mod4=1 なので

最初に1個取る事のできる、先手必勝のゲームです。

で、3~6個取ることができる場合、2人で取るのが7個ではダメなのは一目瞭然かと。

前述のように書いてみるより他に手はなく・・。

相手が3個取る 自分が6個取る 3+6=9
相手が4個・・ ・・・5・・・ 4+5=9
・・・5・・・ ・・・4・・・ 5+4=9

となりますので、必ず9個ずつ進めることができます。

50mod9=5 ですから 先手必勝 4を取っておけば勝ち。

4→13→22→31→40→49 と先手はすれば勝ちですね。

最後のルールを整理しないといけませんが。

この場合は1つしか残りません。3個取るということができませんから。

これを引き分けにするのなら、このゲームは 勝敗不明のゲームになるんではないかな?
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1~3個を取るゲームのときに「4の倍数+1の数」にするのは、相手の取った個数+自分の取る個数を一定の数にするためです。


・相手が1個なら自分は3個
・相手が2個なら自分は2個
・相手が3個なら自分は1個
取れる最大の個数+最低の個数を基準にしておけば、毎回一定の個数を減らしていくことができます。
そうやって石の数をコントロールすることで最後の1個を相手に取らせるわけです。

3~6個の場合も同じように考えると、場の石が9個ずつ減らしていくのがよいと思われます。
・相手が3個なら自分は6個
   :
・相手が6個なら自分は3個
最初の自分の番で場の石を「9の倍数+1個」にして、あとは相手が取った個数に応じて足せば9個となるだけの石を取っていけば(残りを9の倍数+1個にしていけば)勝てることになります。

方程式を使った解説ではなくて申し訳ないのですが、少しでも参考になれば幸いです。
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この回答へのお礼

とてもわかりやすい説明でした!
つまり取れる数が4~7なら11個づつ減らせばいいのですね。
少し応用が利きそうです。

回答ありがとうございました!

お礼日時:2011/04/25 00:07

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> ・石がなくなったとき、とった石の数が多いほうが勝ち。

>・ただし、最後の1個は、石30個分として扱う。

「石1個が1点、ただし最後の石だけは30点」と考えると分かり易くなります。



> このゲームに必勝法はありますか。

 全ての情報が先手後手の双方に見えていて、しかもサイコロのような確率が入って来ないゲームですから、原理的に、(双方が最善を尽くせば)必ず引き分けにできるか、(後手が最善を尽くしても)先手必勝か、(先手が最善を尽くしても)後手必勝か、のどれかです。
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