３問解らない問題があります。

質問１
一本の線路の上を二台の車がお互いにに近づいている
初めに 20 km の距離があり、どちらも時速 10 km で走っている。
走り始めたときに一匹の虫が、一つの車の前面から飛び立ち、時速 15km で飛んだ。
この虫はもう一方の車に出会うと、ただちに初めの車
へ引き返す。
二台の車が正面衝突するまでこれを繰り返す。
正面衝突が起こってお終いになるまでに、この虫は全長どれだけ飛ぶだろうか？

質問２
30 枚のトランプがある。
1～6枚のトランプを順番に取り、最後の1枚を取った人が勝ちになるゲームをした場合、
先手が常に勝つには、どの様にすればよいか？

質問３
ある人が、丁半バクチをすることにした。
持ち金の 1 割を毎回賭ける。
勝ったら 1 割の儲け、負けたら 1 割の損である。
勝ち負けがちょうど半々の確率のギャンブルなら、平均としては、これで持ち金は増えも減りもしない程度の範囲で、いつまでも楽しめると考えた。
この考えが失敗する理由を説明せよ。


この三問の問題が、どうしても解りません、
どなたか教えて頂けないでしょうか？
どうか宜しくお願い致します。

No.7 回答者： ryn 回答日時： 2005/03/08 02:27

念のため．

1さんの丁半が4:3というのは
(1,2) と (2,1) を同じと見た間違いです．
正しくは丁半とも18通りで
確率はどちらも 1/2 です．

No.6 回答者： chiropy 回答日時： 2005/03/08 00:19

No.2、No.4です。

何度もすいません。
問３ですが始めの所持金を１とします。勝てば所持金は1.1倍、負ければ0.9倍になります。ここで勝ちと負けは半々の確立＝1回勝てば1回負ける　のでこれをセットで考えると、1セット終えたとき所持金は1.1×0.9＝0.99と始めの所持金よりも少なくなってしまいます。0.99＜１
つまりやればやるほど、どんどん僅かずつではあるが所持金は減っていきます。だからいつまでも楽しむ事は出来ない。

以上でどうでしょうか？何回かに分けて投稿した為わかりにくいと思います。ほんとすいません。

No.5 回答者： eatern27 回答日時： 2005/03/07 23:57

質問３

勝てば持ち金は1.1倍、負ければ0.9倍となります。

＞勝ち負けがちょうど半々の確率のギャンブルなら
であれば、平均すれば、
勝ち数＝負け数(＝ｎとおく)となりますが、

この時持っているお金は、最初の1.1^n*0.9^n=0.99^n倍になるので、やればやるほど損をします。

No.4 回答者： chiropy 回答日時： 2005/03/07 23:56

No.2です。

問２間違えました。以下に訂正します。
まず１～６枚カードを取れます。相手が何枚カードを取ろうが自分はそれとあわせて７枚に出来ます。下図（●相手、○自分）
●○○○○○○
●●○○○○○
●●●○○○○
●●●●○○○
●●●●●○○
●●●●●●○
次に30枚目を取った方の勝ちなので、７枚前の23枚目を取った人が勝ちになります。（上の図で相手が24枚目から取る時は必ず自分が30枚目を取れるからです。）
では23枚目を取るにはどうするか。そう７を引いた16枚目を取ればいいのです。これを繰り返すと９枚目、2枚目を取った人が勝ちになります。
∴先手は二枚取れば絶対勝てます。（取り方を間違えなければ）
二枚目を取ったあとは上の図をみてわかるように、相手の取った枚数とあわせて７枚になるようにします。

No.3 回答者： tenro 回答日時： 2005/03/07 23:52

質問１

これは、プリンストン大学である研究者がフォン・ノイマンに出した問題です。確か、フォン・ノイマンに出されたのは車ではなく列車で距離も少し違いますが本質的に同じ問題です。質問者は、フォン・ノイマンがあっという間に答えたので、簡単な方法で考えたと思ったが、そうではなくあっという間に無限級数を足して答えを出したと聞いて驚いたそうです。

簡単な答えのヒント：虫が飛んだ時間は？
フォン・ノイマンの方法：１つの車から他の車まで飛んだ距離を毎回計算し、その無限級数を足し合わせる。

質問２：
ヒント：最後の一手は？逆から考えて見てください。

No.2 回答者： chiropy 回答日時： 2005/03/07 23:42

問１

まず車が出会うまでの時間は20÷（10＋10）＝１時間である。この間虫時速15キロで飛び続けているので虫がとんだ距離は15×1＝１５キロメートル

問２
先手は1枚とる。そのあとは後手がとった枚数と自分が取った枚数が７枚になるようにとっていく。
（何故か知りたければもう一度聞いて下さい。急いでいるようなので答えだけ書きます。）

問３
少し時間がかかるのでとりあえず上の二つだけ送ります

No.1 回答者： choijiwoo 回答日時： 2005/03/07 23:36

質問３の答えは、我々専門家にとっては簡単です。

丁半博打では、丁（２個のさいころの目の合計が偶数）と半（奇数）の出る確率が１：１ではなく、４：３なのです。だから、想定のように勝ち負けの確率が決して同じではないのです。