数IIの微分の問題です。

等式x^2f´(x)-(2x-1)f(x)=1を満たす
二次関数f(x)を求めよ。

この問題をどう解いていいかわかりません。
教えてください。

A 回答 (2件)

こんにちは。



二次関数f(x)は、定数a、b、c を用いて
f(x) = ax^2 + bx + c
と表せます。
そして、
f’(x) = 2ax + b
ですね。

肝心なのは、ここからです。
「等式x^2f´(x)-(2x-1)f(x)=1を満たす」というのは、常にそうなるという意味です。
つまり、
x^2・(2ax+b) - (2x-1)(ax^2 + bx + c) - 1 = 0
が常に成り立つような a、b、c を求めればよいことになります。
   別の言い方では、
   x^2・(2ax+b) - (2x-1)(ax^2 + bx + c) - 1 = 0
   が恒等式になるような a、b、c を求めればよいということです。

展開すると、
2ax^3 + bx^2 - 2x(ax^2 + bx + c) + (ax^2 + bx + c) - 1 = 0
2ax^3 + bx^2 - 2ax^3 - 2bx^2 - 2cx + ax^2 + bx + c - 1 = 0
(a-b)x^2 + (b-2c)x + (c-1) = 0
右辺がゼロなので、恒等式になるためには、
a-b = 0
b-2c = 0
c-1 = 0
ということになります。

ここまで来れば大丈夫ですよね?

なお、私は計算ミスが多いので、最初から点検してください。
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求める2次関数をf(x)=ax²+bx+cとおくと,


f'(x)=2ax+bであるから,
あとは自分で解きましょう。
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Qベッセル関数の微分公式について。

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一番下で計算するとどうも上手くいきません。

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Aベストアンサー

よく見ると(2)が微分を含まない式なので、補足します。
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が成り立ちます。

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Aベストアンサー

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Q微分の重解条件は公式として使える?

微分の重解条件は公式として使える?

数学の微分の重解条件について質問です。
タイトル通りなのですが、
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Aベストアンサー

まず、内容の確認ですが、以下のとおりでいいですか?

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「微分の重解条件」という公式はありません。造語になってしまいます。
そのときは、内容をほかの人にわかるようにきっちり書かないと、伝わるものも伝わりません。

「f(α)= 0 かつ f '(α)= 0」ということは、グラフ:y= f(x)と x軸が x=αで「接している」ということと同じです。
「接している」=「重解をもつ」ということからも、重解をもつということが帰結されます。


公式としてよいかということですが、「しない方がよい」と思います。
上のように説明を書いて示すのがベストです。
逆に、2次試験のような記述式では、このような説明を書いておくことで部分点をもらえる可能性も高くなります。

Qf(x)=x^4+2x^3-5x^2-2x+5のときf(√3ー1)は□

f(x)=x^4+2x^3-5x^2-2x+5のときf(√3ー1)は□となる。

次数下げ そのまま計算するのは面倒で芸がなさすぎる。√3ー1をαとおいて、αの満たす2次の等式を利用して「根号を解消して次数下げ」が定石である。

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教えて下さい

Aベストアンサー

こんにちわ。

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Aベストアンサー

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関数f(x)=2x^3+3px^+3px-3p^/2は、x=αで極大値f(α)を、x=βで極小値f(β)をとる。ただし、pは実数とする。

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という問題がどうしても解けません。
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Aベストアンサー

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e^xの微分はe^xですが
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Aベストアンサー

あってますよ。
普通に検索すると、確かに見つけにくいですね^^
http://www-antenna.ee.titech.ac.jp/~hira/hobby/symbolic/derive.html

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なぜこのように表せるのか、どうしてこう思いついたのか、わかりません。考え方を教えてください。よろしくお願いいたします。答えはf(5)=97です。

Aベストアンサー

ranx さんの言うように、
x=1, x=2, x=3, x=4 の場合の解が与えられているので、
その際にどれかがゼロになるように、式を与えれば、
あとは、連立一次方程式で、元が4個で方程式が4本
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Aベストアンサー

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= (5x+2y) e^(xy)

∂z/∂v = (∂z/∂x)(∂x/∂v) + (∂z/∂y)(∂y/∂v)
= {y e^(xy)}(-3) + {x e^(xy)}7
= (7x-3y) e^(xy)

のことかいな?
まさか z = (e^x)y じゃ、あるまいな。

Q(x^2)'=2x, (x^1)'=1, (1)'=0, (x^-1)'=-x^-2 そして ∫x^-1 dx = ln|x| + C

(x^2)' = 2x^1 ⇔ ∫2x dx = x^2 + C
(x^1)' = 1 ⇔ ∫1 dx = x + C
※ ln(x)' = x^-1 ⇔ ∫x^-1 dx = ln|x| + C
(x^-1)' = -x^-2 ⇔ ∫-x^-2 dx = x^-1 + C
(x^-2)' = -2x^-3 ⇔ ∫-2x^-3 dx = x^-2 + C
ですが、

なぜ、※のところだけイレギュラーにになるのでしょう?

はるか昔、高校のときに導出方法は習いましたが、
イメージとしては、どう捉えればよいでしょう?

証明等は無くても構いませんので、
直感に訴える説明、あるいは、逆に高度な数学での説明などができる方いらっしゃいましたら、お願いします。

(もしかしたら、高度な数学では、イレギュラーに見えなくなったりしますか?)

Aベストアンサー

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = ln|x| + C …(2)
のかわりに、
∫0dx = ∫0x^{-1}dx = 0 + C' = x^0 + C
があると思えば、イレギュラーではなくなります。
(2)は、
∫nx^{n-1}dx=x^n+C …(3)
のリストに元々登場していないと解釈するわけです。

また、(3)の両辺をnで割って、
∫x^{n-1}dx = (1/n)x^n + C …(4)
のリストとして考えると、右辺のほうに1/nがあるので、そのリストからは最初からn=0は除外して考えなければなりません。

たまたま、∫x^{-1}dx = ln|x| + C となるので、はまりそうに見えますが、もともと除外していたところに、後から違う種類のものを持ってきてはめ込んだだけと解釈すれば、そこがイレギュラーになるのは不思議ともいえなくなってきます。

また、(4)のリストの立場で考えると、(分母にnがあるので)n=0を除外しなければならないけど、一方、積分∫x^{-1}dxというものは厳然として存在しているので、その隙間に、べき関数とは全く違う関数 ln|x|+C が入ってきているという言い方もできます。これは、べき関数だけでは一覧表が完成しないところに、logでもって完成させているということにもなります。つまりlogという関数は、べき関数のリストの「隙間」に入ってきて、「完成させる」というイメージです。

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = l...続きを読む


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