数IIの微分の問題です。

等式x^2f´(x)-(2x-1)f(x)=1を満たす
二次関数f(x)を求めよ。

この問題をどう解いていいかわかりません。
教えてください。

A 回答 (2件)

こんにちは。



二次関数f(x)は、定数a、b、c を用いて
f(x) = ax^2 + bx + c
と表せます。
そして、
f’(x) = 2ax + b
ですね。

肝心なのは、ここからです。
「等式x^2f´(x)-(2x-1)f(x)=1を満たす」というのは、常にそうなるという意味です。
つまり、
x^2・(2ax+b) - (2x-1)(ax^2 + bx + c) - 1 = 0
が常に成り立つような a、b、c を求めればよいことになります。
   別の言い方では、
   x^2・(2ax+b) - (2x-1)(ax^2 + bx + c) - 1 = 0
   が恒等式になるような a、b、c を求めればよいということです。

展開すると、
2ax^3 + bx^2 - 2x(ax^2 + bx + c) + (ax^2 + bx + c) - 1 = 0
2ax^3 + bx^2 - 2ax^3 - 2bx^2 - 2cx + ax^2 + bx + c - 1 = 0
(a-b)x^2 + (b-2c)x + (c-1) = 0
右辺がゼロなので、恒等式になるためには、
a-b = 0
b-2c = 0
c-1 = 0
ということになります。

ここまで来れば大丈夫ですよね?

なお、私は計算ミスが多いので、最初から点検してください。
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求める2次関数をf(x)=ax²+bx+cとおくと,


f'(x)=2ax+bであるから,
あとは自分で解きましょう。
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