集合 補集合 閉包

補集合は、全体集合をUとすると全体集合からある集合Aを取り除いた部分の集合をAの補集合
と呼びます。記号では、Aバー,A^cなどで表されます。

閉包も同様にAバー,A^cの記号で表されますが、補集合と閉包は関係があるのでしょうか?
また、閉包については理解が乏しいので、解説(図解)していただけると有難いです。

ご回答、よろしくお願い致します。

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A 回答 (9件)

● (B(a; r))^e = {x| x ∈ R^2, d(a, x) > r} の証明



  まず、{x| x ∈ R^2, d(a, x) > r} ⊆ (B(a; r))^e を示します。外部の定義より、(B(a; r))^e = ((B(a; r))^c)^i です。

  {x| x ∈ R^2, d(a, x) > r} に含まれる任意の点を b と表わすことにします。すなわち、b ∈ {x| x ∈ R^2, d(a, x) > r} です。この b が B(a; r)^c の内点であることを示せば、この証明の前半は完了します。( 添付画像・左を参照してください )

  b ∈ {x| x ∈ R^2, d(a, x) > r} より、d(a, b) > r です。この右辺を左辺にに移行すれば、d(a, b) - r > 0 です。この左辺を r' と置きます。すなわち、r' = d(a, b) - r > 0 です。これにより、b に対して r' という正の実数が存在することが確認されました。そして、b を中心とする半径 r' の球体 B(b; r') を新たに設けます。

  B(b; r') に含まれる任意の点を x と表わすことにします。すなわち、x ∈ B(b; r') です。三角不等式 (* 1) によって、次の 1) が満たされます。

1) d(a, b) ≦ d(a, x) + d(x, b)

  この 1) の右辺における d(x, b) (= d(b, x) < r') を左辺に移項します。これにより、次の 2) が満たされます。

2) r = d(a, b) - r' < d(a, b) - d(x, b) ≦ d(a, x)

  よって、x ∈ B(a; r) ではありません。よって、B(b; r') ⊆ (B(a; r))^c です。よって、b は (B(a; r))^c の内点です。これで前半の証明は完了しました。

  後半の証明として、(B(a; r))^e ⊆ {x| x ∈ R^2, d(a, x) > r} を示します。外部の定義より、(B(a; r))^e = ((B(a; r))^c)^i です。このことと内部の定義より、(B(a; r))^e ⊆ (B(a; r))^c は明らかです。さらに、(B(a; r))^c = {x| x ∈ R^2, d(a, x) ≧ r} ですから、次の 3) という包含関係が示されます。

3) (B(a; r))^e ⊆ {x| x ∈ R^2, d(a, x) > r}∪{x| x ∈ R^2, d(a, x) = r}

  そこで、次の 4) という包含関係を示せば、後半の証明は完了します。(* 2)

4) {x| x ∈ R^2, d(a, x) = r} ⊆ (B(a; r)^e)^c

  よって、{x| x ∈ R^2, d(a, x) = r} に含まれる任意の点を b と表わすことにし、すなわち b ∈ {x| x ∈ R^2, d(a, x) = r} であるとし、この b を中心とするどんな球体も B(a; r)^c の部分集合にならない、すなわちこの b を中心とするどんな球体も B(a; r) と必ず交わることが示されれば、後半の証明は完了します。

  任意の正の実数を r' と表わすことにします。すなわち, r' ∈ R, r' > 0 です。この r' に対して、正の実数 p を次の 5) という不等式を満たすように選びます。

5) p < min{1, r'/r}
  ( すなわち、r' ≧ r であるときは p < 1 を満たすように p を選び、r' < r であるときは p < r'/r (< 1) を満たすように p を選びます )

  そして、c という点を次の 6) のとおりに設けます。ただし、a = (a_1, a_2), b = (b_1, b_2) であるとします。( 添付画像・右を参照してください )

6) c = (b_1 + p(a_1 - b_1), b_2 + p(a_2 - b_2))

  このとき、次の 7) と 8) が満たされます。

7) d(a, c)
  = (((a_1 - (b_1 + p(a_1 - b_1)))^2) + ((a_2 - (b_2 + p(a_2 - b_2)))^2))^(1/2)
  = ((((a_1 - b_1) - p(a_1 - b_1))^2) + (((a_2 - b_2) - p(a_2 - b_2))^2))^(1/2)
  = (((1 - p)^2)((a_1 - b_1)^2) + ((1 - p)^2)((a_2 - b_2)^2))^(1/2)
  = (1 - p)(d(a, b)) = (1 - p)r < r

8) d(b, c)
  = (((b_1 - (b_1 + p(a_1 - b_1)))^2) + ((b_2 - (b_2 + p(a_2 - b_2)))^2))^(1/2)
  = (((p(a_1 - b_1))^2) + (((p(a_2 - b_2)))^2))^(1/2)
  = (((p^2)((a_1 - b_1)^2)) + ((p^2)((a_2 - b_2)^2)))^(1/2)
  = p(d(a, b)) = pr < r'

  よって、c ∈ B(a; r)∩B(b; r') です。すなわち、この c という点の存在により、b を中心とするどんな球体も B(a; r) と必ず交わることが示されます。

● (* 1)

  平面 (= 2次元 Euclid 空間 R^2) 上の 3つ の点 u, v, w を次のとおりに表わすものとします。

  u = (u_1, u_2), v = (v_1, v_2), w = (w_1, w_2)

  このとき、d(u, w) ≦ d(u, v) + d(v, w) という不等式が満たされます。すなわち、

  (((u_1 - w_1)^2) + ((u_2 - w_2)^2))^(1/2)
  ≦ ((((u_1 - v_1)^2) + ((u_2 - v_2)^2))^(1/2)) + ((((v_1 - w_1)^2) + ((v_2 - w_2)^2))^(1/2))

  という不等式が満たされます。この不等式は、平面上における三角不等式と呼ばれるものです。( 三角関数を含んでいる不等式のことを「 三角不等式 」と呼ぶこともあるようですが、それとは別です )

  s_1 = u_1 - v_1, s_2 = u_2 - v_2, t_1 = v_1 - w_1, t_2 = v_2 - w_2 と置きます。このとき、三角不等式は次のとおりに改められます。

  (((s_1 + t_1)^2) + ((s_2 + t_2)^2))^(1/2)
  ≦ (((s_1^2) + (s_2^2))^(1/2)) + (((t_1^2) + (t_2^2))^(1/2))

  この不等式は、両辺を 2乗 して、s_1^2, s_2^2, t_1^2, t_2^2 を消去し、2 で割って、2乗 することによって得られる次の不等式と同等です。

  ((s_1)(t_1) + (s_2)(t_2))^2 ≦ (s_1^2 + s_2^2)(t_1^2 + t_2^2)

  これは「 Schwarz の不等式 」です。「 Schwarz の不等式 」の証明については、高校数学で取り扱われているようですので、記述は省略します。

● (* 2)

  S, T, U をそれぞれ命題を表わすものとします。このとき、次の合成命題はトートロジーとなります。

  ((S→(T∨U))∧(U→¬S))→(T→S)

  この合成命題がトートロジーになっていることが、後半の証明のやりかたに深くかかわっていると、私は考えます。深くかかわっている理由を示すには、述語論理を加味した 推論図 ( もしくは演繹図 ? ) を描くという手段がてっとり早いと思われます。
  ところが、正式なその図の描きかたを、私は残念ながら知りません。お許しください。

● 以上の記述がまちがっていましたら、ごめんなさい。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
何度か行ったり来たりしましたが、理解出来ました。
親切丁寧なご回答本当本当にありがとうございます。
貴重なお時間を割いて回答頂いた事に深く感謝致します。

お礼日時:2011/05/10 18:42

● まず、ANo. 5 における「 いま、x と y との平均値を改めて … 」より先の部分を訂正させてください。

これより、少し前の記述で、u, v という文字を用いていますので、x, y を u, v に改めます。

  いま、数直線 (= 1次元 Euclid 空間 R ) 上の任意の 2つ の異なる点 u と v との平均値を改めて a と定めます。開区間(u, v) および 閉区間[u, v] は、次のとおりであると言えましょう。

  開区間(u, v) = B(a; d(u, v)/2) = (B(a; d(u, v)/2))^i
  閉区間[u, v] = ((B(a; d(u, v)/2))^i)∪((B(a; d(u, v)/2))^f) = (B(a; d(u, v)/2))^a

  つまり、開区間(u, v) の内部は、開区間(u, v) 自身です。そして、閉区間[u, v] は、開区間(u, v) の閉包です。

● ANo. 1 において、「 (ア) 閉包の具体例としては、数直線 (= 1次元 Euclid 空間 R ) 上における閉区間です。(イ) 内部の具体例としては、数直線上の開区間です 」と、私は記述しました。

  (イ) については、開区間の内部が開区間自身になっていることを上記のとおり私は示しましたので、ことたりていると思われます。(ア) については、これまでの記述では不十分であるように私は思います。閉区間の閉包が閉区間自身になっていることをまだ示していないからです。

  以下において、それを示します。
  [ いいわけ ] 以下の記述は、松坂和夫 著「 集合・位相入門 」( 岩波書店 1983年 第 17 刷 ) を土台にしています。以下の記述の中に含まれるであろう非は、すべて私によるものです。なお、7番目 の ● の「 (M^i)^i = M^i の証明 」は私が考えたものです ( この証明には非があるかもしれません。非が無かったとしても、この証明自体不要であるかもしれません )。

● M^i ⊆ M という包含関係の関係の再確認

  M を平面上の 1つ の「 点の集合 」とする場合、球体・内点・内部の定義によって、M^i ⊆ M という包含関係は明らかです。ANo. 5 における記述で、ご理解できますでしょうか … 。

● B(a; r) = {x| x ∈ R^2, d(a; x) < r} = (B(a; r))^i の証明

  平面 (= 2次元 Euclid 空間 R^2 ) 上の点 a を中心とする半径 r の球体 B(a; r) の内部は、B(a; r) 自身です。

1) B(a; r) = {x| x ∈ R^2, d(a, x) < r} = (B(a; r))^i

  と、ANo. 5 において私は記述しました。以下においてその証明を示します。

  (B(a; r))^i ⊆ B(a; r) であることは、上述のとおり明らかです。ですから、B(a; r) ⊆ (B(a; r))^i だけを示せばよいわけです。

  B(a; r) に含まれる任意の点を b と表わすことにします。すなわち、b ∈ B(a; r) です。この b が B(a; r) の内点であることを示せば、この証明は完了します。( 添付画像を参照してください )

  [***]

  b ∈ B(a; r) より、d(a, b) < r です。この左辺を右辺に移項すれば、0 < r - d(a, b) です。この右辺を r' と置きます。すなわち、r' = r - d(a, b) > 0 です。これにより、b に対して r' という正の実数が存在することが確認されました。そして、b を中心とする半径 r' の球体 B(b; r') を新たに設けます。

  B(b; r') に含まれる任意の点を x と表わすことにします。すなわち、x ∈ B(b; r') です。三角不等式によって、次の 2) が満たされます。( 三角不等式の証明についての記述は、後日、投稿します )

2) d(a, x) ≦ d(a, b) + d(b, x) < d(a, b) + r' = r

  よって、x ∈ B(a; r) です。よって、B(b; r') ⊆ B(a; r) です。

  [***]

  よって、b は B(a; r) の内点です。

● (B(a; r))^e = {x| x ∈ R^2, d(a, x) > r} の証明

  ( この証明についての記述は、後日、投稿します )

● (B(a; r))^f = {x| x ∈ R^2, d(a, x) = r} の証明

  上記における 1) および (B(a; r))^e = {x| x ∈ R^2, d(a, x) > r} により、(B(a; r))^f = {x| x ∈ R^2, d(a, x) = r} が示されます。

● (M^i)^i = M^i の証明 (「 内部の内部 」は「 内部 」と同じであることの証明 )

  M を平面上の 1つ の「 点の集合 」とします。このとき、(M^i)^i = M^i であることが、以下のとおり証明されます。

  (M^i)^i ⊆ M^i であることは、3番目 の ● における記述より、明らかです。ですから、M^i ⊆ (M^i)^i だけを示せばよいわけです。

  M^i に含まれる任意の点を a と表わすことにします。すなわち、a は M の内点であり、a ∈ M^i と表わされます。この a が M^i の内点であること、すなわち a ∈ (M^i)^i であることを示せば、この証明は完了します。

  内点と内部の定義より、a という点に対しては、r という正の実数が ( 少なくとも ) 1つ 存在し、B(a; r) ⊆ M を満たします。この B(a; r) に含まれる任意の点を b と表わすことにします。すなわち、b ∈ B(a; r) です。この b が M の内点であることを示せば、すなわち B(a; r) ⊆ M^i であることを示せば、この証明は完了します。

  < 上述において、[***] という記号によってはさまれている記述があります。それをここにおいて繰り返します >

  B(a; r) ⊆ M ですから、B(b; r') ⊆ M です。よって、b は M の内点です。

● (M^a)^a = M^a の証明

  M を平面上の 1つ の「 点の集合 」とします。このとき、内部・境界・閉包の定義により、次の 3) が満たされます。

3) M^a = (M^e)^c = ((M^c)^i)^c

  この 3) および「『 補集合の補集合 』は元の集合と同じであること 」およびすぐ上の ● における記述によりより、次の 4) が満たされます。

4) (M^a)^a
  = (((M^c)^i)^c)^a
  = (((((M^c)^i)^c)^c)^i)^c
  = (((M^c)^i)^i)^c
  = ((M^c)^i^c
  = M^a

● R における閉区間の閉包はその閉区間自身であることの証明

  例えば、M が R における開区間であるとすれば、冒頭の ● における記述より、M^a は閉区間です。すぐ上の ● における記述により、(M^a)^a = M^a ですから、閉区間の閉包はその閉区間自身です。

● 以上の記述がまちがっていましたら、ごめんなさい。
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● ANo. 5 の補足でいただいた指摘について、まず答えさせてください。

私の表記のしかたが正確ではなかったかもしれませんね。もしそうであればあやまります。ごめんなさい。

  M^i∩ …, M^i∪ …, M^e∪… という表記ではなく、(M^i)∩ …, (M^i)∪ …, (M^e)∪ … というように、かっこ付きで表記すればよかったかもしれません。
  (M^i)∩ … はもちろん「 M^i と … との 共通部分 ( もしくは交わり ) 」を示し、(M^i)∪ … はもちろん「 M^i と … との 和集合 ( もしくは結び ) 」を示します。

● ANo. 5 の補足で、RY0U さん は「 一度では理解できないので、何度も読んでみます 」とおっしゃいました。私にとりましては、たいへんうれしいお言葉です。投稿した甲斐がありました。ありがとうございます。

  ですが、ANo. 5 における私の記述は、かなり要約されています。松坂和夫 著「 集合・位相入門 」という数学書を参考に、最重要と私が思う個所のみをくりぬいただけです。ANo. 5 を私が投稿しました目的は、ANo. 5 によって、閉包に関して "おおまかな感触" を RY0U さん に得ていただくというものです。

  私は数学の専門家ではありません。かつて、松坂和夫 著「 集合・位相入門 」の一部を読んで勉強したことがあるというだけの人間です。ANo. 5 の内容の正確さに、強い自信はありません。ですから、RY0U さん に対しましては、「 集合 」「 位相 」に関するしっかりした数学の専門書をお読みいただくということを、私はおすすめします。
  また、検索サイトで、大学の講義などで用いられている文書を探し出すという方法などもよいのではないでしょうか。例えば、検索ワードとして、次のような単語を選ぶのがよいかもしれません。

  閉包 閉区間

  また、検索ワードに pdf という半角 3文字 を加えると、検索結果がしぼられるかもしれません。
  私が、偶然、検索サイトによって見つけた Web ページ を以下に示します。ただし、閉包の説明に至るまでの過程が、ANo. 5 の記述とは異なります。

  熊本大学
  http://www.sci.kumamoto-u.ac.jp/~ando/H23igIchap …

  埼玉大学
  http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/fsakai/ …

● ANo. 6 において、ANo. 5 の最後の数行が "完全にまちがっている" と私は申し上げました。ですが、x や y という文字の選びかたを除けば、さほど問題がある記述ではないかもしれないと、私はいまそう思っています。混乱させて、どうもすみません。
  そのあたりを含めて、また改めて投稿させてください。ANo. 5 では、「 開区間(x, y) の閉包は、閉区間[x, y] である 」という記述で終わっています。私は次の記述を最後に添えたいと思っています。「 閉区間[x, y] の閉包は、[x, y]自身である 」という記述です。
  わがままを言って申しわけありませんが、もう少し時間をください。
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 ごめんなさい。

ANo. 5 の最後の数行は、完全にまちがっています。のちほど、改めて投稿します。

 いま、x と y との平均値を改めて … より後の部分がまちがっています。
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● 松坂和夫 著「 集合・位相入門 」( 岩波書店 1983年 第 17 刷 ) という数学書を参考にして、平面 (= 2次元 Euclid 空間 R^2 ) における閉包の定義について、私は以下にまとめてみました。


  <*> 部分は私のつぶやきです。

● 距離 d ( 2変数 の関数 )

  平面 (= 2次元 Euclid 空間 R^2 ) 上の 2つ の点 x ∈ R^2, y ∈ R^2 を次のとおりに表わすものとします。
  x = (x_1, x_2)
  y = (y_1, y_2)

  <*> それぞれの右辺は、座標です。おそらく。

  このとき、距離 d(x, y) を次のとおりに定義します。
  d(x, y) = ((x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2)^(1/2)

● 球体 ( 平面上の点の集合の 1つ )

  a を 平面 (= 2次元 Euclid 空間 R^2 ) 上の 1つ の点とします。r を 1つ の正の実数とします。このとき、平面上の点の集合 B(a; r) を次のとおりに定義します。

  B(a; r) = {x| x ∈ R^2, d(a, x) < r}

  この B(a; r) を、a を中心、r を半径とする R^2 の球体と呼びます。もちろん a ∈ B(a; r) です。

  <*>「 球体 」という呼び名についてですが、平面上において「 球体 」とはおかしいですよね。「 集合・位相入門 」では、R^3, R^4, R^5, … についても B(a; r) を定義しているので、おそらくそのためでしょう。

● 内点 と 内部

  M を平面上の 1つ の「 点の集合 」とします。a を平面上の 1つ の点とします。そして、B(a; r) ⊆ M を満たすような 正の実数 r が ( 少なくとも 1つ ) 存在したとします。
  このとき、「 a は M の内点である 」と言います。

  M の内点全部の集合を、M の 内部 ( もしくは開核 ) と呼びます。M の内部を M^i と表記します。M^i ⊆ M です。

  <*> ⊆ ⊇ という記号を用いて、「 一方の集合が、もう一方の集合の部分集合になっている 」という関係を、私は示しました。松坂和夫 著「 集合・位相入門 」( 岩波書店 1983年 第 17 刷 ) では、⊂ ⊃ という記号によって、その関係を示しています。

● 外点 と 外部

  M を平面上の 1つ の「 点の集合 」とします。M の ( R^2 に対する ) 補集合を M^c と表すことにします。「 M^c の内点 」を「 M の外点 」と呼びます。

  M の外点全部の集合を、M の外部と呼びます。M の外部を M^e と表記します。M^e = (M^c)^i ⊆ M^c です。また、M^i∩M^e = φ です。

● 境界点 と 境界

  M を平面上の 1つ の「 点の集合 」とします。M の内点でも外点でもない点を、M の境界点と呼びます。M の境界点全部の集合を、M の境界と呼びます。すなわち、M^i∪M^e の ( R^2 に対する ) 補集合を、M の境界と呼びます。M の境界を M^f と表記します。
  R^2 = M^i∪M^e∪M^f であり、M^i∩M^e∩M^f = φ です。

● 球体の内部、球体の外部、球体の境界

  平面 (= 2次元 Euclid 空間 R^2 ) 上の点 a を中心とする半径 r の球体 B(a; r) の内部は、B(a; r) 自身です。

  B(a; r) = {x| x ∈ R^2, d(a, x) < r} = (B(a; r))^i

  B(a; r) の外部と境界は、次のとおりです。

  (B(a; r))^e = {x| x ∈ R^2, d(a, x) > r}
  (B(a; r))^f = {x| x ∈ R^2, d(a, x) = r}

  <*> 松坂和夫 著「 集合・位相入門 」( 岩波書店 1983年 第 17 刷 ) では、これらを証明するために、三角不等式 d(x, z) ≦ d(x, y) + d(y, z) を用いています。また、((S→(T∨U))∧(U→¬S))→(S→T) というトートロジーを用いているかもしれません。この証明は、むずかしいです … 。

● 閉包

  M を平面上の 1つ の「 点の集合 」とします。M^i∪M^f を M の閉包と呼びます。M の閉包を M^a と表記します。

● 以下はすべて私のつぶやきです。開区間がなぜ内部となり、閉区間がなぜ閉包となるのかについて、私は記述したつもりです。

  数直線 (= 1次元 Euclid 空間 R ) 上の任意の 2つ の異なる点を u, v とします。それらの 2点間 の距離 d(u, v) は、次のとおりであると言えましょう。

  d(u, v) = ((u - v)^2)^(1/2) = |u - v|

  そして、数直線上の任意の 1つ の点を a とします。数直線上の点 a を中心とする半径 r の球体 B(a; r) は、次のとおりであると言えましょう。

  B(a; r) = {x| x ∈ R, d(a, x) < r}

  さらに、B(a; r) の内部・外部・境界・閉包は、次のとおりであると言えましょう。

  B(a; r) = {x| x ∈ R, d(a, x) < r} = (B(a; r))^i
  (B(a; r))^e = {x| x ∈ R, d(a, x) > r}
  (B(a; r))^f = {x| x ∈ R, d(a, x) = r}
  (B(a; r))^a = (B(a; r))^i∪(B(a; r))^e = {x| x ∈ R, d(a, x) ≧ r}

  いま、x と y との平均値を改めて a と定めます。開区間(x, y) および 閉区間[x, y] は、次のとおりであると言えましょう。

  開区間(x, y) = B(a; d(x, y)/2) = (B(a; d(x, y)/2))^i
  閉区間[x, y] = (B(a; d(x, y)/2))^i∪(B(a; d(x, y)/2))^f = (B(a; d(x, y)/2))^a

● 以上の私の記述にまちがいがありましたら、ひらにごめんなさい。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
M^in
M^i∪
M^e∪
は何を表しているのでしょうか?

一度では理解できないので、何度も読んでみます。

補足日時:2011/04/30 19:25
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> 閉区間はなぜ、閉包となるのでしょうか?



その訊き方を見ると、どうやら、
閉集合と閉包の区別がついてないようです。

集合 A が閉集合であるとは、
A の補集合が開集合であること。

集合 A が集合 B の閉包であるとは、
B を含む全ての閉集合の共通部分が A であること。

この定義によって、
任意の集合の閉包は閉集合になります。

閉区間は、実数の閉集合のひとつでしたね。
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その本では閉包の定義を述べた直後に、「A の閉包を Aバー または A^c と表す」と書かれているのでしょうか。


たぶん、違うと思います。
A^c の説明は、別に述べられていませんか。

A^c の c は閉包作用素で、complement の頭文字 c ではなく、closure の頭文字 c を取ったのではないかと、私なりに勝手に想像しています。
c によって位相が定まり、その位相によって Aバー = A^c が成り立つ、という流れではないでしょうか。
ちなみに、その本で Kuratowski の閉包公理について説明されているかどうか、調べてみるのも悪くないかもしれません。

閉包の定義は、その本に載っているはずです。
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閉包の何たるかの解説はほかの人に任せて,記号についてのうんちくに徹します.



(1) Aの補集合をAバーで表すのは,高校までの数学教育や,情報科学の一部で使われる「方言」に過ぎません.数学の世界では,断りなくAバーと書かれていると,ほとんどの人は「閉包かな?」と思います.そのため,数学の文脈では,Aの補集合は A^c で表すことが強く推奨されます.「Aの補集合をAバーで表す」という認識は捨て去ってください.

(2) Aの閉包を A^c で表す位相空間論の本を,私は見つけられませんでした.たぶん,何かの間違いです(でなければ,その記法は「補集合と区別できない」という理由で著しく不適切であり,排除されるべきです).

(3) 補集合と閉包の記号の一致については,「記号の使い方の混乱によって,偶然に,同じ記号が使われることが起こってしまった」という程度です.

(4) Aの閉包を表す記号としては,Aバー,A^a,cl A,cl(A) などが使われています.cl は closure を意味します.閉包を cl(A) で表す場合は内部を int(A) と書きます(int は interior).

(5) すでに世に出ている位相空間論の教科書の流儀を否定するわけにはいきませんが,今後,位相空間論を教える人や教科書を執筆する人には,閉包,内部を cl(A),int(A) と書く流儀を採ってほしいと,個人的には思っています.記号自体が意味を明確に表示していて,珍妙な記号を覚える(不毛な)努力が不要になるからです.

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
cl A,cl(A)は補集合の記号だと思ってました・・・
閉包の記号なのですね。間違った認識をしていました。

閉包と補集合は特に関係性はないということでしょうか?

閉包に関しても、教えて頂けるとありがたいです。どうぞ、よろしくお願い致します。

補足日時:2011/04/28 17:39
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● 松坂和夫 著「 集合・位相入門 」( 岩波書店 1983年 第 17 刷 ) という数学書を、私は開いてみました。



  M を位相空間における任意の部分集合とするとき、M の閉包は M バー もしくは M^a と表記されています。

 「 岩波 数学辞典 」第 3 版 ( 1985年 ) では、A^a と表記されています。

● 松坂和夫 著「 集合・位相入門 」では、閉包を次のように定義しています。

  M を位相空間 (S, O) の任意の部分集合とするとき、… ( 中略 ) … 、これは M を含む '最小の閉集合' となる。M バー を M の閉包または触集合とよぶ。

● 閉包と補集合との関係についてですが、一例としては、M を位相空間の任意の部分集合とするとき、M の閉包は「『 M の補集合 』の内部 」の補集合 になるようです。( 内部については、後述します )

  閉包の具体例としては、数直線 (= 1次元 Euclid 空間 R ) 上における 閉区間です。
  閉区間の一例 {x| x ∈ R, 0 ≦ x ≦ 1}
  内部の具体例としては、数直線上における開区間です
  開区間の一例 {x| x ∈ R, 0 < x < 1}

● 私のいいかげんな解釈は、次のとおりです。
  円を描いたときに、線と円内が「 閉包 」。円内だけが「 内部 」。

● 以上の記述がまちがっていましたら、ごめんなさい。
「集合 補集合 閉包」の回答画像1

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
閉包がいまいちぴんときません。
閉区間はなぜ、閉包となるのでしょうか?

補足日時:2011/04/28 17:29
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Q閉包と集積点と内部

閉包と集積点と内部(及び境界)の関係を、初心者でもわかるように教えていただけないでしょうか。特に、それらが集合において何を意味しているのかを教えていただけないでしょうか。

閉包A ̄は、
任意のxの近傍V(x)において、V(x)∩A≠φ(φは空集合)であるxの集合
集積点a(A)は、
T∩(A-{x})≠φとなるxの集合
(Aの相違な元列が1点Pに近づくときのPのこと…?)
内部i(A)は、
Aに含まれる位相空間(X,τ)の開集合全体の和集合である。i(A)={a∈A:V(a)⊂Aとなる近傍V(a)が存在する}

Aベストアンサー

>現段階で、位相はある全体集合の中に、ある決まりに基づいた開集合、閉集合を規定すること?と理解しています。

それは正しいのですが,もしかして集合には
開集合と閉集合しかないと思ってませんか?
閉集合の定義はたしかに「開集合の補集合」ですが,
それは決して
「開集合ではない集合を閉集合という」
という意味ではありません.
これは初心者がよくおかす勘違いです.

例:
(0,1] は開集合でも閉集合でもない
(0,1] の内点集合は (0,1)
(0,1] の閉包は [0,1]
(0,1] の集積点からなる集合は [0,1]
(0,1] の境界は {0,1}

自分で具体例を構築する訓練をしてください.
非数学科の方が応用が主眼なので,より複雑なものが
でてくる傾向があります.
#顕著な例は,金融方面の確率偏微分方程式とか
#工学系だと,なにかの状態空間の議論かな,位相とか使いそうなの.

Q集積点が、まったく分かりません!!

集積点の意味がまったくわかりません。詳しく教えてください。

Aベストアンサー

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるようなx以外のAの要素が存在するような点」
と言い替えられます。

直観的な言い方をすれば、x∈XがAの集積点であるとは
「xのどんな近くにも(x以外の)Aの点がある」
と言う条件をみたすような点のことです。

ついでに集積点との対比で孤立点も覚えてしまいましょう。
集積点とはある意味で対照的なものが孤立点です。
すなわちx∈XがAの孤立点であるとは
xがAの要素であり  …(S1)
かつxのある近傍とAの共通部分にx以外のAの点が含まれない。…(S2)
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「あるεに対してxからの距離がε以下であるようなAの要素はxだけであるような点」
となります。

注意していただきたいのはx∈AであることはxがAの集積点であるためには
必要でも十分でもないということです。
xがAの点であってもそれが孤立点ならxは集積点ではないし、Aの点でないような
Aの集積点も存在します。
しかし孤立点と言う概念は集合Aの要素に対して与えられる概念ですから、Aに
属さない点が(S2)の条件だけ満たしてもそれをAの孤立点とは呼びません。

あとは距離空間(ユークリッド空間)での簡単な例を挙げておきますのでイメージをつかんで下さい

例(1)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| x^2 + y^2 < 1} ∪ (2.0)
とします。つまりAは原点中心半径1の開円盤と点(2,0)の和集合です。
するとAの集積点(の集合)は
{(x,y)∈X| x^2 + y^2 ≦ 1}
すなわち原点中心半径1の開円盤とその境界となります。
点(2,0)は孤立点なので集積点ではありません。

例(2)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| y = sin(1/x) ,x∈(0,∞) }
とします。Aの集積点(の集合)はA自身と集合
B={(0,y)∈X| y∈[-1,1] }
の和集合です。

例(3)Xを1次元ユークリッド空間として
A= { 1/n | n=1,2,…}
とします。原点{0}はAの集積点です。しかしA自身の点はすべて孤立点です。

例(4)Xを1次元ユークリッド空間として
Aは開区間(0,1)の有理点。すなわち
A= { x∈(0,1)|xは有理数 }
とします。Aの集積点(の集合)は閉区間[0,1]です。

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるよう...続きを読む

Q「一点aを閉集合であることを示せ」。 一点aは集合でないのでこの文章は間違ってますよね?

「ユークリッド空間Rの一点aは閉集合であることを示せ」
(昨日のテスト問題です)
これ、一点aが閉集合であることという言い方がおかしいですよね?
点aはまず集合でないのでそれを集合と言っている時点で誤りだと思うし、A={a}とするならAは点と言わない。
おそらく、一点aのみを元とした集合だと思ったのです。でもあくまで
集合の元を点と言っているだけでA自身は集合なので、問題の説明は誤っていますよね?

Aベストアンサー

1点集合のことですね。1点からなる集合{a}を意味してるはずです。
ユークリッド空間Rですから、もっと書くと[a,a]のような閉区間です。

位相空間をやっているようなので、もう既にご存じだと思いますが、数学で「点」にはいろんな意味があるので、あながちおかしいとも言い切れません。そういう使い方をしてる数学の方は大勢いらっしゃいますし。
私としては、1点でもいいと思います…。

ちゃんとした回答じゃありませんが、参考までに。。

Q集合と位相の問題なんですが・・・・

今大学で集合と位相をやっているんですが、なかなか理解しにくいです。簡単なことならまだ理解できるんですが。
(1)集合族{A_λ}_λ∈Λに対して次を証明しなさい。包含関係∪_λ∈Λ(A_λの閉包)⊆{(∪_λ∈ΛA_λ)の閉包}が成立する。また、等号成立の為の必要十分条件は∪_λ∈Λ(A_λの閉包)が閉集合となることである。

(2)A_n(n=3,4、・・・)を実数の開区間(1/n、1-1/n)とする。これらのA_nに対しては、(1)の等号が成立しないことを示せ。

この問題は、正確に答えるにはどう解答すればいいのかわかりません。(1)の等号成立条件もさっぱりわかりません。(2)は、∪_λ∈Λ(A_λの閉包)が閉集合にならないことをしめせばいいんでしょうが、そこまでもっていけれません。
どうか、丁寧な回答、解説をおねがいします。またよければ、こんなまったく理解できてない私に、お勧めの参考書を紹介していただければありがたいです。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

混乱の恐れがないため、∪_λ∈Λを単に∪と書くことにします。
また、Aの閉包(closure)を、cl(A)とここでは表記します。

[Lemma]A⊆Bならばcl(A)⊆cl(B)
まず、これを証明します。
(証明1)
K=cl(A)∩cl(B)とすると、Kは閉集合で、K⊆cl(A)を満たしている。
いま、A⊆cl(A)かつA⊆B⊆cl(B)ゆえ、A⊆Kである。
従って閉包の最小性からcl(A)⊆Kが成立する。
以上からK=cl(A)が分かる。従って、Kの定義よりcl(A)⊆cl(B)。
(証明2)
Kuratowskiの公理より、cl(A∪B)=cl(A)∪cl(B)。従ってA⊆Bより
cl(B)=cl(A∪B)=cl(A)∪cl(B)。これより明らかにcl(A)⊆cl(B)。

(1)
定義より、任意のx∈∪cl(A_λ)に対し、あるμがあってx∈cl(A_μ)となっています。
明らかにA_μ⊆∪A_λですから、Lemmaより
cl(A_μ)⊆cl(∪A_λ)
となります。従ってx∈cl(∪A_λ)です。以上から
∪cl(A_λ)⊆cl(∪A_λ)

∪cl(A_λ)⊇∪A_λが成り立つことに注意します。
題意の包含関係がありますので、等号成立⇔逆の包含関係が成立、ということになります。
従って、∪cl(A_λ)が閉集合の時、Lemmaより
∪cl(A_λ) = cl(∪cl(A_λ)) ⊇ cl(∪A_λ)
が示せますので等号が成立します。

逆に、等号成立、つまり
∪cl(A_λ) ⊇ cl(∪A_λ)
が成り立っているとき、Lemmaより
cl(∪cl(A_λ)) ⊆ cl(cl(∪A_λ)) = cl(∪A_λ) ⊆ ∪cl(A_λ)
となりますから、cl(∪cl(A_λ)) = ∪cl(A_λ)が分かります。
(逆の包含関係は明らか)
この等式の左辺は明らかに閉集合ですから、∪cl(A_λ)も閉集合となります。

(2)
お考えの通り、∪cl(A_n)が閉集合にならないことを示せばOKです。
これにはいくつかの方法が考えられますが、最も初等的なものを挙げておきます。

いま、A_n=(1/n, 1-1/n)より、cl(A_n)=[1/n, 1-1/n]です。
このとき、∪[1/n, 1-1/n] = (0,1)が成立します。
(⊆は明らか。⊇はアルキメデスの原理を使う)
これは閉集合ではありませんから、証明が終わります。


という感じでいかがでしょうか。
個人的には、位相の学習は、
・問題を解くこと
・位相的性質が実際にどのように使われるかを知ること
が大切だと思います。
演習書を1つ挙げておきます。
「集合・位相演習」、篠田寿一/米澤佳己、サイエンス社

混乱の恐れがないため、∪_λ∈Λを単に∪と書くことにします。
また、Aの閉包(closure)を、cl(A)とここでは表記します。

[Lemma]A⊆Bならばcl(A)⊆cl(B)
まず、これを証明します。
(証明1)
K=cl(A)∩cl(B)とすると、Kは閉集合で、K⊆cl(A)を満たしている。
いま、A⊆cl(A)かつA⊆B⊆cl(B)ゆえ、A⊆Kである。
従って閉包の最小性からcl(A)⊆Kが成立する。
以上からK=cl(A)が分かる。従って、Kの定義よりcl(A)⊆cl(B)。
(証明2)
Kuratowskiの公理より、cl(A∪B)=cl(A)∪cl(B)。従ってA⊆Bより
cl(B)=cl(A∪B)=cl(A)...続きを読む

Q同型写像の証明問題

問題)f:R^n→R^nを同型写像とする。このとき、fの逆写像も同型写像となることを証明せよ。

以上の問題の方針として、Vを集合とした時に写像f:V→V、g:V→Vにおいてf◦g=idv、g◦f=idvならば、f、gは全単射であることを用いるのではないかと思ったのですが、これで正しいでしょうか。間違っていれば正しい方針を教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

そもそも「ベクトル空間の同型写像」というのを
どのように定義していますか?

まあ,実際は
「全単射な線型写像があれば,その逆写像も線型である」
を示せば十分なのでしょう.

任意のベクトルx,y,任意のスカラーk,lに対して,
あるベクトルa,bが存在して
a=f(x), b=f(y)とおける.fは線型なので
ka+lb=f(kx+ly),よって,
f^{-1}(ka+lb)=kx+ly=kf^{-1}(a)+lf^{-1}(b)
よって,f^{-1}も線型

Q上極限、下極限が理解できません

大学で習っているのですが、limsupやliminfなどが定義を見ても、どういう意味なのか理解できません。

上界、下界、上限、下限については例があったので、なんとか理解することができました。


X={1,2,3}⊆Zのとき、下界の1つとして0がとれる。

こんな感じで、簡単な例つきで説明して下さると、理解できると思うのですが・・・。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

上極限

sin(n)で考えましょう。nは自然数です。
sin(n)は振動しているので極限はないけど、
「nが大きい時(というか初めからだけど)1を超えることはない」
「1付近の値を何回も(無限回)とる」
から1が上極限です。
ことばでいえば、
「ずっと先のほうでは、上極限の値より大きくならない」
(極限の意味でです。∀ε>0に対し上極限+εより大きくならないってことです)



この例では下極限はー1ですね。

(sin(n)-1)*n の場合だと、
上極限は0で、下極限は「なし」(-∞)となりますね。

Q社会福祉と聞いてイメージすること

現在、介護職の勉強をしていて、授業で「社会福祉について」というテーマの課題が出ました。
講師は、高齢者介護問題にとらわれず、虐待や生活保護、他いろいろ・・・を含んだ福祉全般の中から様々なレポートを提出して欲しいようです。

そこで、この場を借りてみなさんに質問なのですが、社会福祉と聞いてイメージすること、不思議に思うことがあれば教えていただけませんか?

どんなことでも構いません。レポート作成のヒントにしたいので、宜しくお願いします。

Aベストアンサー

「福」も「祉」もどちらも「幸い」という意味の漢字です(中国語では同じ意味の字を二つ続けて語を構成することが多いそうです)。
よって、福祉ということばは「人間の幸せ」という意味です。

社会福祉、ということばをいうときに、2つの側面があります。

1.事業としての福祉

これには、介護保険による「老人福祉」、福祉事務所などによる措置制度に基づく「障害者福祉」「児童保育」などがあります(老人福祉にも一部措置はのこっているようです)。
また、「生活保護」も措置のひとつですね。

一般のひとが「社会福祉」といった場合、そのほとんどが「事業としての福祉」をイメージしていると思います。

2.人間の幸せとしての福祉

たとえば、バリアフリー、ユニバーサルデザインによる都市計画、建築、新聞などの文字をおおきくすること、使いやすい製品、なども、人間の幸せとしての福祉ということができるでしょう。
しかしながら、現在はユニバーサルデザインや駅のエスカレータ設置などは、一般の人たちからは福祉と認識されていないでしょう。

しかしながら、事業としての福祉が成立する背後には「どのような制度を設ければ、最大幸福を実現できるだろうか」という思想があります。
ユニバーサルデザインなどが、制度、事業としての福祉となることも、非現実的なことではないと思います。


以下、私のイメージというか主張です。
どうも、大多数の人が「福祉」ということを自分とは無縁の、「弱者のためのもの」と思っているようでなりません。

たとえば「障碍」ですが、これはだれにでも、明日、訪れる可能性があります。
道をあるいていると、交通事故にあう確率はかなりあります(すごーくおおざっぱにいって1%)。
重症を負えば、半身不随になるかもしれません。
ある日、眼が見えにくいと思ったら、あっという間に網膜はく離になってしまうことだってあります。
また、年をとることによるさまざまな不便なこと(脚があがらなくなって、ちょっとした段差で躓くなど)も障碍のひとつと考えることが出来ます。

障碍だけではありません。
一家で交通事故にあって、ひとりだけ助かったが、働くことが出来ずに生活保護のお世話になる、ということだってありえます。

つまり、だれもが必ず「福祉」のお世話になるし、低くない確率で障碍をおって明日、お世話になるかもしれません。

どうしたら人間が幸せに暮らせるか、それを考えることが「福祉」とくに「事業としての福祉」の基本となって欲しいものです。
「弱者救済」などという認識は、今すぐかかわる人全員の心の中から排除して欲しいと。

「福」も「祉」もどちらも「幸い」という意味の漢字です(中国語では同じ意味の字を二つ続けて語を構成することが多いそうです)。
よって、福祉ということばは「人間の幸せ」という意味です。

社会福祉、ということばをいうときに、2つの側面があります。

1.事業としての福祉

これには、介護保険による「老人福祉」、福祉事務所などによる措置制度に基づく「障害者福祉」「児童保育」などがあります(老人福祉にも一部措置はのこっているようです)。
また、「生活保護」も措置のひとつですね。

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Qwell-definedについて

ある問題集に以下のことが書かれていました。
「整数aのmを法とする剰余類は
[a]={x|x≡a(mod m)}とする。
また、Z/mZ={[x]m|x∈Z}とする。
a,b∈Z、剰余類に加法+を定義する:
[a]+[b]=[a+b]
これは代表元の選び方に依存しない。
すなわち演算+はwell-definedである。」

ここで何故「これは代表元の選び方に依存しない。
すなわち演算+はwell-definedである。」
といえるのですか?
よく意味が分かりません。教えてください。

Aベストアンサー

商空間に演算を入れるときはいつでもwell-definedを証明しなくてはなりません。やさしいので出来れば自力でやっていただきたいですが、おそらく初めてのことだろうと思うので、一例です。参考にしてみてください。

今、ある代表元、a,bを取ってきて、[a]+[b]を[a+b]で定義します。
そして別の代表元a'、b'を取ってきて[a'+b']を計算したとします。
もし[a+b]=[a'+b']でないのなら、この演算は代表元の取り方に依存したことになりますし、
逆にこれが等しいのであれば、代表元の取り方には依存しないわけです。

さて、(a+b)-(a'+b')=(a-a')+(b-b')です。
いま、aもa'もともに同じ剰余類[a]に属していますから、mで割った余りは等しい。
したがって(a-a')|mです。つまりmで割り切れる。
同様に(b-b')もmで割り切れます。
つまり、(a+b)-(a'+b')はmの倍数なわけです。
したがって、a+bとa'+b'は同じ剰余類に属します。
すなわち[a+b]=[a'+b']という分けです。

これは合同式の演算の正当化でもあります。
x≡y (mod m)
z≡w (mod m)
であれば、
x+z≡y+w (mod m)
というものです。余りだけ見るのだから、
余りが等しいものなら何で計算してって一緒(well-defined!)
というわけですね。

商空間に演算を入れるときはいつでもwell-definedを証明しなくてはなりません。やさしいので出来れば自力でやっていただきたいですが、おそらく初めてのことだろうと思うので、一例です。参考にしてみてください。

今、ある代表元、a,bを取ってきて、[a]+[b]を[a+b]で定義します。
そして別の代表元a'、b'を取ってきて[a'+b']を計算したとします。
もし[a+b]=[a'+b']でないのなら、この演算は代表元の取り方に依存したことになりますし、
逆にこれが等しいのであれば、代表元の取り方には依存しないわけです...続きを読む

Q部分列って?

証明で,「~~なので,~~という部分列が存在する」
(たとえば,「fが非有界とする.fの非有界性より,ある部分列{tj}でf(tj)→∞というものが存在する」など)
というのを見かけますが,部分列ってなんですか?
「~~という点列が存在する」
ではだめなのでしょうか?

基本的なことで申し訳ありません.
よろしくお願いいたします.

Aベストアンサー

ココ↓
http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/index.htm
の解析学-(1)極限 をご覧になってください。点列、部分列の詳しい説明が載っています。

参考URL:http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/index.htm

Q閉区間[-1,1]がコンパクトである事の証明は?

こんにちは。

閉区間[-1,1]がコンパクトである事はどうやって証明すればいいのでしょうか?

RはT:={(a,b)∈2^R;a,b∈R}を位相として位相空間をなしますよね。
[-1,1]の開被覆の集合{A∈2^T;[-1,1]⊂∪[B∈A]B}:=C
∀A∈Cを採った時、どのように有限個のB1,B2,…,Bn∈Aを選べば
[-1,1]⊂∪[i=1..n]Bi
と出来るのでしょうか?

Aベストアンサー

No1です。

閉区間列S1、S2、…、Sn、…はいずれも空でありませんから(∵有限個の開集合で覆いきれない閉区間列と仮定しているので、もし空ならひとつの開集合で覆えてしまう)、いまSiの元をsiと記すことにします。(i=1,2,…)
m>nのときsm∈Sm⊂Snでありsn∈Snだから|sm-sn|≦(1/2)^(n-1) が成立。(Snの区間の長さは、作り方によりS0が2でS1が1でS2が1/2…となっているから)

よって、点列snはコーシー列を成すことがわかる。実数の完備性により点列snの極限が存在する。それをsとおく。(つまりlim sn = s)



このとき∩Sn={s}が成立。

証明:

(∩Sn⊃{s}について) nを任意に与えられた自然数とする。m≧nとなる任意の自然数mに対し、sm∈Sm⊂Snが成立。Snが閉区間であるのでs=lim sm ∈Sn が成立。ゆえに∩Sn⊃{s}が成立。

(∩Sn⊂{s}について) x∈∩Snとする。すると任意の自然数nに対しx∈Snである。ここで、上で示したように∩Sn⊃{s}が成立しているから、s∈Snである。よって|x-s|≦(1/2)^(n-1)が成立。nは任意であったので、|x-s|=0でなくてはならない。よって、x=s∈{s}である。

No1です。

閉区間列S1、S2、…、Sn、…はいずれも空でありませんから(∵有限個の開集合で覆いきれない閉区間列と仮定しているので、もし空ならひとつの開集合で覆えてしまう)、いまSiの元をsiと記すことにします。(i=1,2,…)
m>nのときsm∈Sm⊂Snでありsn∈Snだから|sm-sn|≦(1/2)^(n-1) が成立。(Snの区間の長さは、作り方によりS0が2でS1が1でS2が1/2…となっているから)

よって、点列snはコーシー列を成すことがわかる。実数の完備性により点列snの極限が存在する。それをsとおく。(つまりlim sn = s)



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