集合 補集合 閉包

補集合は、全体集合をUとすると全体集合からある集合Aを取り除いた部分の集合をAの補集合
と呼びます。記号では、Aバー,A^cなどで表されます。

閉包も同様にAバー,A^cの記号で表されますが、補集合と閉包は関係があるのでしょうか?
また、閉包については理解が乏しいので、解説(図解)していただけると有難いです。

ご回答、よろしくお願い致します。

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A 回答 (9件)

● (B(a; r))^e = {x| x ∈ R^2, d(a, x) > r} の証明



  まず、{x| x ∈ R^2, d(a, x) > r} ⊆ (B(a; r))^e を示します。外部の定義より、(B(a; r))^e = ((B(a; r))^c)^i です。

  {x| x ∈ R^2, d(a, x) > r} に含まれる任意の点を b と表わすことにします。すなわち、b ∈ {x| x ∈ R^2, d(a, x) > r} です。この b が B(a; r)^c の内点であることを示せば、この証明の前半は完了します。( 添付画像・左を参照してください )

  b ∈ {x| x ∈ R^2, d(a, x) > r} より、d(a, b) > r です。この右辺を左辺にに移行すれば、d(a, b) - r > 0 です。この左辺を r' と置きます。すなわち、r' = d(a, b) - r > 0 です。これにより、b に対して r' という正の実数が存在することが確認されました。そして、b を中心とする半径 r' の球体 B(b; r') を新たに設けます。

  B(b; r') に含まれる任意の点を x と表わすことにします。すなわち、x ∈ B(b; r') です。三角不等式 (* 1) によって、次の 1) が満たされます。

1) d(a, b) ≦ d(a, x) + d(x, b)

  この 1) の右辺における d(x, b) (= d(b, x) < r') を左辺に移項します。これにより、次の 2) が満たされます。

2) r = d(a, b) - r' < d(a, b) - d(x, b) ≦ d(a, x)

  よって、x ∈ B(a; r) ではありません。よって、B(b; r') ⊆ (B(a; r))^c です。よって、b は (B(a; r))^c の内点です。これで前半の証明は完了しました。

  後半の証明として、(B(a; r))^e ⊆ {x| x ∈ R^2, d(a, x) > r} を示します。外部の定義より、(B(a; r))^e = ((B(a; r))^c)^i です。このことと内部の定義より、(B(a; r))^e ⊆ (B(a; r))^c は明らかです。さらに、(B(a; r))^c = {x| x ∈ R^2, d(a, x) ≧ r} ですから、次の 3) という包含関係が示されます。

3) (B(a; r))^e ⊆ {x| x ∈ R^2, d(a, x) > r}∪{x| x ∈ R^2, d(a, x) = r}

  そこで、次の 4) という包含関係を示せば、後半の証明は完了します。(* 2)

4) {x| x ∈ R^2, d(a, x) = r} ⊆ (B(a; r)^e)^c

  よって、{x| x ∈ R^2, d(a, x) = r} に含まれる任意の点を b と表わすことにし、すなわち b ∈ {x| x ∈ R^2, d(a, x) = r} であるとし、この b を中心とするどんな球体も B(a; r)^c の部分集合にならない、すなわちこの b を中心とするどんな球体も B(a; r) と必ず交わることが示されれば、後半の証明は完了します。

  任意の正の実数を r' と表わすことにします。すなわち, r' ∈ R, r' > 0 です。この r' に対して、正の実数 p を次の 5) という不等式を満たすように選びます。

5) p < min{1, r'/r}
  ( すなわち、r' ≧ r であるときは p < 1 を満たすように p を選び、r' < r であるときは p < r'/r (< 1) を満たすように p を選びます )

  そして、c という点を次の 6) のとおりに設けます。ただし、a = (a_1, a_2), b = (b_1, b_2) であるとします。( 添付画像・右を参照してください )

6) c = (b_1 + p(a_1 - b_1), b_2 + p(a_2 - b_2))

  このとき、次の 7) と 8) が満たされます。

7) d(a, c)
  = (((a_1 - (b_1 + p(a_1 - b_1)))^2) + ((a_2 - (b_2 + p(a_2 - b_2)))^2))^(1/2)
  = ((((a_1 - b_1) - p(a_1 - b_1))^2) + (((a_2 - b_2) - p(a_2 - b_2))^2))^(1/2)
  = (((1 - p)^2)((a_1 - b_1)^2) + ((1 - p)^2)((a_2 - b_2)^2))^(1/2)
  = (1 - p)(d(a, b)) = (1 - p)r < r

8) d(b, c)
  = (((b_1 - (b_1 + p(a_1 - b_1)))^2) + ((b_2 - (b_2 + p(a_2 - b_2)))^2))^(1/2)
  = (((p(a_1 - b_1))^2) + (((p(a_2 - b_2)))^2))^(1/2)
  = (((p^2)((a_1 - b_1)^2)) + ((p^2)((a_2 - b_2)^2)))^(1/2)
  = p(d(a, b)) = pr < r'

  よって、c ∈ B(a; r)∩B(b; r') です。すなわち、この c という点の存在により、b を中心とするどんな球体も B(a; r) と必ず交わることが示されます。

● (* 1)

  平面 (= 2次元 Euclid 空間 R^2) 上の 3つ の点 u, v, w を次のとおりに表わすものとします。

  u = (u_1, u_2), v = (v_1, v_2), w = (w_1, w_2)

  このとき、d(u, w) ≦ d(u, v) + d(v, w) という不等式が満たされます。すなわち、

  (((u_1 - w_1)^2) + ((u_2 - w_2)^2))^(1/2)
  ≦ ((((u_1 - v_1)^2) + ((u_2 - v_2)^2))^(1/2)) + ((((v_1 - w_1)^2) + ((v_2 - w_2)^2))^(1/2))

  という不等式が満たされます。この不等式は、平面上における三角不等式と呼ばれるものです。( 三角関数を含んでいる不等式のことを「 三角不等式 」と呼ぶこともあるようですが、それとは別です )

  s_1 = u_1 - v_1, s_2 = u_2 - v_2, t_1 = v_1 - w_1, t_2 = v_2 - w_2 と置きます。このとき、三角不等式は次のとおりに改められます。

  (((s_1 + t_1)^2) + ((s_2 + t_2)^2))^(1/2)
  ≦ (((s_1^2) + (s_2^2))^(1/2)) + (((t_1^2) + (t_2^2))^(1/2))

  この不等式は、両辺を 2乗 して、s_1^2, s_2^2, t_1^2, t_2^2 を消去し、2 で割って、2乗 することによって得られる次の不等式と同等です。

  ((s_1)(t_1) + (s_2)(t_2))^2 ≦ (s_1^2 + s_2^2)(t_1^2 + t_2^2)

  これは「 Schwarz の不等式 」です。「 Schwarz の不等式 」の証明については、高校数学で取り扱われているようですので、記述は省略します。

● (* 2)

  S, T, U をそれぞれ命題を表わすものとします。このとき、次の合成命題はトートロジーとなります。

  ((S→(T∨U))∧(U→¬S))→(T→S)

  この合成命題がトートロジーになっていることが、後半の証明のやりかたに深くかかわっていると、私は考えます。深くかかわっている理由を示すには、述語論理を加味した 推論図 ( もしくは演繹図 ? ) を描くという手段がてっとり早いと思われます。
  ところが、正式なその図の描きかたを、私は残念ながら知りません。お許しください。

● 以上の記述がまちがっていましたら、ごめんなさい。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
何度か行ったり来たりしましたが、理解出来ました。
親切丁寧なご回答本当本当にありがとうございます。
貴重なお時間を割いて回答頂いた事に深く感謝致します。

お礼日時:2011/05/10 18:42

● まず、ANo. 5 における「 いま、x と y との平均値を改めて … 」より先の部分を訂正させてください。

これより、少し前の記述で、u, v という文字を用いていますので、x, y を u, v に改めます。

  いま、数直線 (= 1次元 Euclid 空間 R ) 上の任意の 2つ の異なる点 u と v との平均値を改めて a と定めます。開区間(u, v) および 閉区間[u, v] は、次のとおりであると言えましょう。

  開区間(u, v) = B(a; d(u, v)/2) = (B(a; d(u, v)/2))^i
  閉区間[u, v] = ((B(a; d(u, v)/2))^i)∪((B(a; d(u, v)/2))^f) = (B(a; d(u, v)/2))^a

  つまり、開区間(u, v) の内部は、開区間(u, v) 自身です。そして、閉区間[u, v] は、開区間(u, v) の閉包です。

● ANo. 1 において、「 (ア) 閉包の具体例としては、数直線 (= 1次元 Euclid 空間 R ) 上における閉区間です。(イ) 内部の具体例としては、数直線上の開区間です 」と、私は記述しました。

  (イ) については、開区間の内部が開区間自身になっていることを上記のとおり私は示しましたので、ことたりていると思われます。(ア) については、これまでの記述では不十分であるように私は思います。閉区間の閉包が閉区間自身になっていることをまだ示していないからです。

  以下において、それを示します。
  [ いいわけ ] 以下の記述は、松坂和夫 著「 集合・位相入門 」( 岩波書店 1983年 第 17 刷 ) を土台にしています。以下の記述の中に含まれるであろう非は、すべて私によるものです。なお、7番目 の ● の「 (M^i)^i = M^i の証明 」は私が考えたものです ( この証明には非があるかもしれません。非が無かったとしても、この証明自体不要であるかもしれません )。

● M^i ⊆ M という包含関係の関係の再確認

  M を平面上の 1つ の「 点の集合 」とする場合、球体・内点・内部の定義によって、M^i ⊆ M という包含関係は明らかです。ANo. 5 における記述で、ご理解できますでしょうか … 。

● B(a; r) = {x| x ∈ R^2, d(a; x) < r} = (B(a; r))^i の証明

  平面 (= 2次元 Euclid 空間 R^2 ) 上の点 a を中心とする半径 r の球体 B(a; r) の内部は、B(a; r) 自身です。

1) B(a; r) = {x| x ∈ R^2, d(a, x) < r} = (B(a; r))^i

  と、ANo. 5 において私は記述しました。以下においてその証明を示します。

  (B(a; r))^i ⊆ B(a; r) であることは、上述のとおり明らかです。ですから、B(a; r) ⊆ (B(a; r))^i だけを示せばよいわけです。

  B(a; r) に含まれる任意の点を b と表わすことにします。すなわち、b ∈ B(a; r) です。この b が B(a; r) の内点であることを示せば、この証明は完了します。( 添付画像を参照してください )

  [***]

  b ∈ B(a; r) より、d(a, b) < r です。この左辺を右辺に移項すれば、0 < r - d(a, b) です。この右辺を r' と置きます。すなわち、r' = r - d(a, b) > 0 です。これにより、b に対して r' という正の実数が存在することが確認されました。そして、b を中心とする半径 r' の球体 B(b; r') を新たに設けます。

  B(b; r') に含まれる任意の点を x と表わすことにします。すなわち、x ∈ B(b; r') です。三角不等式によって、次の 2) が満たされます。( 三角不等式の証明についての記述は、後日、投稿します )

2) d(a, x) ≦ d(a, b) + d(b, x) < d(a, b) + r' = r

  よって、x ∈ B(a; r) です。よって、B(b; r') ⊆ B(a; r) です。

  [***]

  よって、b は B(a; r) の内点です。

● (B(a; r))^e = {x| x ∈ R^2, d(a, x) > r} の証明

  ( この証明についての記述は、後日、投稿します )

● (B(a; r))^f = {x| x ∈ R^2, d(a, x) = r} の証明

  上記における 1) および (B(a; r))^e = {x| x ∈ R^2, d(a, x) > r} により、(B(a; r))^f = {x| x ∈ R^2, d(a, x) = r} が示されます。

● (M^i)^i = M^i の証明 (「 内部の内部 」は「 内部 」と同じであることの証明 )

  M を平面上の 1つ の「 点の集合 」とします。このとき、(M^i)^i = M^i であることが、以下のとおり証明されます。

  (M^i)^i ⊆ M^i であることは、3番目 の ● における記述より、明らかです。ですから、M^i ⊆ (M^i)^i だけを示せばよいわけです。

  M^i に含まれる任意の点を a と表わすことにします。すなわち、a は M の内点であり、a ∈ M^i と表わされます。この a が M^i の内点であること、すなわち a ∈ (M^i)^i であることを示せば、この証明は完了します。

  内点と内部の定義より、a という点に対しては、r という正の実数が ( 少なくとも ) 1つ 存在し、B(a; r) ⊆ M を満たします。この B(a; r) に含まれる任意の点を b と表わすことにします。すなわち、b ∈ B(a; r) です。この b が M の内点であることを示せば、すなわち B(a; r) ⊆ M^i であることを示せば、この証明は完了します。

  < 上述において、[***] という記号によってはさまれている記述があります。それをここにおいて繰り返します >

  B(a; r) ⊆ M ですから、B(b; r') ⊆ M です。よって、b は M の内点です。

● (M^a)^a = M^a の証明

  M を平面上の 1つ の「 点の集合 」とします。このとき、内部・境界・閉包の定義により、次の 3) が満たされます。

3) M^a = (M^e)^c = ((M^c)^i)^c

  この 3) および「『 補集合の補集合 』は元の集合と同じであること 」およびすぐ上の ● における記述によりより、次の 4) が満たされます。

4) (M^a)^a
  = (((M^c)^i)^c)^a
  = (((((M^c)^i)^c)^c)^i)^c
  = (((M^c)^i)^i)^c
  = ((M^c)^i^c
  = M^a

● R における閉区間の閉包はその閉区間自身であることの証明

  例えば、M が R における開区間であるとすれば、冒頭の ● における記述より、M^a は閉区間です。すぐ上の ● における記述により、(M^a)^a = M^a ですから、閉区間の閉包はその閉区間自身です。

● 以上の記述がまちがっていましたら、ごめんなさい。
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● ANo. 5 の補足でいただいた指摘について、まず答えさせてください。

私の表記のしかたが正確ではなかったかもしれませんね。もしそうであればあやまります。ごめんなさい。

  M^i∩ …, M^i∪ …, M^e∪… という表記ではなく、(M^i)∩ …, (M^i)∪ …, (M^e)∪ … というように、かっこ付きで表記すればよかったかもしれません。
  (M^i)∩ … はもちろん「 M^i と … との 共通部分 ( もしくは交わり ) 」を示し、(M^i)∪ … はもちろん「 M^i と … との 和集合 ( もしくは結び ) 」を示します。

● ANo. 5 の補足で、RY0U さん は「 一度では理解できないので、何度も読んでみます 」とおっしゃいました。私にとりましては、たいへんうれしいお言葉です。投稿した甲斐がありました。ありがとうございます。

  ですが、ANo. 5 における私の記述は、かなり要約されています。松坂和夫 著「 集合・位相入門 」という数学書を参考に、最重要と私が思う個所のみをくりぬいただけです。ANo. 5 を私が投稿しました目的は、ANo. 5 によって、閉包に関して "おおまかな感触" を RY0U さん に得ていただくというものです。

  私は数学の専門家ではありません。かつて、松坂和夫 著「 集合・位相入門 」の一部を読んで勉強したことがあるというだけの人間です。ANo. 5 の内容の正確さに、強い自信はありません。ですから、RY0U さん に対しましては、「 集合 」「 位相 」に関するしっかりした数学の専門書をお読みいただくということを、私はおすすめします。
  また、検索サイトで、大学の講義などで用いられている文書を探し出すという方法などもよいのではないでしょうか。例えば、検索ワードとして、次のような単語を選ぶのがよいかもしれません。

  閉包 閉区間

  また、検索ワードに pdf という半角 3文字 を加えると、検索結果がしぼられるかもしれません。
  私が、偶然、検索サイトによって見つけた Web ページ を以下に示します。ただし、閉包の説明に至るまでの過程が、ANo. 5 の記述とは異なります。

  熊本大学
  http://www.sci.kumamoto-u.ac.jp/~ando/H23igIchap …

  埼玉大学
  http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/fsakai/ …

● ANo. 6 において、ANo. 5 の最後の数行が "完全にまちがっている" と私は申し上げました。ですが、x や y という文字の選びかたを除けば、さほど問題がある記述ではないかもしれないと、私はいまそう思っています。混乱させて、どうもすみません。
  そのあたりを含めて、また改めて投稿させてください。ANo. 5 では、「 開区間(x, y) の閉包は、閉区間[x, y] である 」という記述で終わっています。私は次の記述を最後に添えたいと思っています。「 閉区間[x, y] の閉包は、[x, y]自身である 」という記述です。
  わがままを言って申しわけありませんが、もう少し時間をください。
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 ごめんなさい。

ANo. 5 の最後の数行は、完全にまちがっています。のちほど、改めて投稿します。

 いま、x と y との平均値を改めて … より後の部分がまちがっています。
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● 松坂和夫 著「 集合・位相入門 」( 岩波書店 1983年 第 17 刷 ) という数学書を参考にして、平面 (= 2次元 Euclid 空間 R^2 ) における閉包の定義について、私は以下にまとめてみました。


  <*> 部分は私のつぶやきです。

● 距離 d ( 2変数 の関数 )

  平面 (= 2次元 Euclid 空間 R^2 ) 上の 2つ の点 x ∈ R^2, y ∈ R^2 を次のとおりに表わすものとします。
  x = (x_1, x_2)
  y = (y_1, y_2)

  <*> それぞれの右辺は、座標です。おそらく。

  このとき、距離 d(x, y) を次のとおりに定義します。
  d(x, y) = ((x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2)^(1/2)

● 球体 ( 平面上の点の集合の 1つ )

  a を 平面 (= 2次元 Euclid 空間 R^2 ) 上の 1つ の点とします。r を 1つ の正の実数とします。このとき、平面上の点の集合 B(a; r) を次のとおりに定義します。

  B(a; r) = {x| x ∈ R^2, d(a, x) < r}

  この B(a; r) を、a を中心、r を半径とする R^2 の球体と呼びます。もちろん a ∈ B(a; r) です。

  <*>「 球体 」という呼び名についてですが、平面上において「 球体 」とはおかしいですよね。「 集合・位相入門 」では、R^3, R^4, R^5, … についても B(a; r) を定義しているので、おそらくそのためでしょう。

● 内点 と 内部

  M を平面上の 1つ の「 点の集合 」とします。a を平面上の 1つ の点とします。そして、B(a; r) ⊆ M を満たすような 正の実数 r が ( 少なくとも 1つ ) 存在したとします。
  このとき、「 a は M の内点である 」と言います。

  M の内点全部の集合を、M の 内部 ( もしくは開核 ) と呼びます。M の内部を M^i と表記します。M^i ⊆ M です。

  <*> ⊆ ⊇ という記号を用いて、「 一方の集合が、もう一方の集合の部分集合になっている 」という関係を、私は示しました。松坂和夫 著「 集合・位相入門 」( 岩波書店 1983年 第 17 刷 ) では、⊂ ⊃ という記号によって、その関係を示しています。

● 外点 と 外部

  M を平面上の 1つ の「 点の集合 」とします。M の ( R^2 に対する ) 補集合を M^c と表すことにします。「 M^c の内点 」を「 M の外点 」と呼びます。

  M の外点全部の集合を、M の外部と呼びます。M の外部を M^e と表記します。M^e = (M^c)^i ⊆ M^c です。また、M^i∩M^e = φ です。

● 境界点 と 境界

  M を平面上の 1つ の「 点の集合 」とします。M の内点でも外点でもない点を、M の境界点と呼びます。M の境界点全部の集合を、M の境界と呼びます。すなわち、M^i∪M^e の ( R^2 に対する ) 補集合を、M の境界と呼びます。M の境界を M^f と表記します。
  R^2 = M^i∪M^e∪M^f であり、M^i∩M^e∩M^f = φ です。

● 球体の内部、球体の外部、球体の境界

  平面 (= 2次元 Euclid 空間 R^2 ) 上の点 a を中心とする半径 r の球体 B(a; r) の内部は、B(a; r) 自身です。

  B(a; r) = {x| x ∈ R^2, d(a, x) < r} = (B(a; r))^i

  B(a; r) の外部と境界は、次のとおりです。

  (B(a; r))^e = {x| x ∈ R^2, d(a, x) > r}
  (B(a; r))^f = {x| x ∈ R^2, d(a, x) = r}

  <*> 松坂和夫 著「 集合・位相入門 」( 岩波書店 1983年 第 17 刷 ) では、これらを証明するために、三角不等式 d(x, z) ≦ d(x, y) + d(y, z) を用いています。また、((S→(T∨U))∧(U→¬S))→(S→T) というトートロジーを用いているかもしれません。この証明は、むずかしいです … 。

● 閉包

  M を平面上の 1つ の「 点の集合 」とします。M^i∪M^f を M の閉包と呼びます。M の閉包を M^a と表記します。

● 以下はすべて私のつぶやきです。開区間がなぜ内部となり、閉区間がなぜ閉包となるのかについて、私は記述したつもりです。

  数直線 (= 1次元 Euclid 空間 R ) 上の任意の 2つ の異なる点を u, v とします。それらの 2点間 の距離 d(u, v) は、次のとおりであると言えましょう。

  d(u, v) = ((u - v)^2)^(1/2) = |u - v|

  そして、数直線上の任意の 1つ の点を a とします。数直線上の点 a を中心とする半径 r の球体 B(a; r) は、次のとおりであると言えましょう。

  B(a; r) = {x| x ∈ R, d(a, x) < r}

  さらに、B(a; r) の内部・外部・境界・閉包は、次のとおりであると言えましょう。

  B(a; r) = {x| x ∈ R, d(a, x) < r} = (B(a; r))^i
  (B(a; r))^e = {x| x ∈ R, d(a, x) > r}
  (B(a; r))^f = {x| x ∈ R, d(a, x) = r}
  (B(a; r))^a = (B(a; r))^i∪(B(a; r))^e = {x| x ∈ R, d(a, x) ≧ r}

  いま、x と y との平均値を改めて a と定めます。開区間(x, y) および 閉区間[x, y] は、次のとおりであると言えましょう。

  開区間(x, y) = B(a; d(x, y)/2) = (B(a; d(x, y)/2))^i
  閉区間[x, y] = (B(a; d(x, y)/2))^i∪(B(a; d(x, y)/2))^f = (B(a; d(x, y)/2))^a

● 以上の私の記述にまちがいがありましたら、ひらにごめんなさい。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
M^in
M^i∪
M^e∪
は何を表しているのでしょうか?

一度では理解できないので、何度も読んでみます。

補足日時:2011/04/30 19:25
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> 閉区間はなぜ、閉包となるのでしょうか?



その訊き方を見ると、どうやら、
閉集合と閉包の区別がついてないようです。

集合 A が閉集合であるとは、
A の補集合が開集合であること。

集合 A が集合 B の閉包であるとは、
B を含む全ての閉集合の共通部分が A であること。

この定義によって、
任意の集合の閉包は閉集合になります。

閉区間は、実数の閉集合のひとつでしたね。
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その本では閉包の定義を述べた直後に、「A の閉包を Aバー または A^c と表す」と書かれているのでしょうか。


たぶん、違うと思います。
A^c の説明は、別に述べられていませんか。

A^c の c は閉包作用素で、complement の頭文字 c ではなく、closure の頭文字 c を取ったのではないかと、私なりに勝手に想像しています。
c によって位相が定まり、その位相によって Aバー = A^c が成り立つ、という流れではないでしょうか。
ちなみに、その本で Kuratowski の閉包公理について説明されているかどうか、調べてみるのも悪くないかもしれません。

閉包の定義は、その本に載っているはずです。
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閉包の何たるかの解説はほかの人に任せて,記号についてのうんちくに徹します.



(1) Aの補集合をAバーで表すのは,高校までの数学教育や,情報科学の一部で使われる「方言」に過ぎません.数学の世界では,断りなくAバーと書かれていると,ほとんどの人は「閉包かな?」と思います.そのため,数学の文脈では,Aの補集合は A^c で表すことが強く推奨されます.「Aの補集合をAバーで表す」という認識は捨て去ってください.

(2) Aの閉包を A^c で表す位相空間論の本を,私は見つけられませんでした.たぶん,何かの間違いです(でなければ,その記法は「補集合と区別できない」という理由で著しく不適切であり,排除されるべきです).

(3) 補集合と閉包の記号の一致については,「記号の使い方の混乱によって,偶然に,同じ記号が使われることが起こってしまった」という程度です.

(4) Aの閉包を表す記号としては,Aバー,A^a,cl A,cl(A) などが使われています.cl は closure を意味します.閉包を cl(A) で表す場合は内部を int(A) と書きます(int は interior).

(5) すでに世に出ている位相空間論の教科書の流儀を否定するわけにはいきませんが,今後,位相空間論を教える人や教科書を執筆する人には,閉包,内部を cl(A),int(A) と書く流儀を採ってほしいと,個人的には思っています.記号自体が意味を明確に表示していて,珍妙な記号を覚える(不毛な)努力が不要になるからです.

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
cl A,cl(A)は補集合の記号だと思ってました・・・
閉包の記号なのですね。間違った認識をしていました。

閉包と補集合は特に関係性はないということでしょうか?

閉包に関しても、教えて頂けるとありがたいです。どうぞ、よろしくお願い致します。

補足日時:2011/04/28 17:39
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● 松坂和夫 著「 集合・位相入門 」( 岩波書店 1983年 第 17 刷 ) という数学書を、私は開いてみました。



  M を位相空間における任意の部分集合とするとき、M の閉包は M バー もしくは M^a と表記されています。

 「 岩波 数学辞典 」第 3 版 ( 1985年 ) では、A^a と表記されています。

● 松坂和夫 著「 集合・位相入門 」では、閉包を次のように定義しています。

  M を位相空間 (S, O) の任意の部分集合とするとき、… ( 中略 ) … 、これは M を含む '最小の閉集合' となる。M バー を M の閉包または触集合とよぶ。

● 閉包と補集合との関係についてですが、一例としては、M を位相空間の任意の部分集合とするとき、M の閉包は「『 M の補集合 』の内部 」の補集合 になるようです。( 内部については、後述します )

  閉包の具体例としては、数直線 (= 1次元 Euclid 空間 R ) 上における 閉区間です。
  閉区間の一例 {x| x ∈ R, 0 ≦ x ≦ 1}
  内部の具体例としては、数直線上における開区間です
  開区間の一例 {x| x ∈ R, 0 < x < 1}

● 私のいいかげんな解釈は、次のとおりです。
  円を描いたときに、線と円内が「 閉包 」。円内だけが「 内部 」。

● 以上の記述がまちがっていましたら、ごめんなさい。
「集合 補集合 閉包」の回答画像1

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
閉包がいまいちぴんときません。
閉区間はなぜ、閉包となるのでしょうか?

補足日時:2011/04/28 17:29
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Q補集合の補集合??記号を教えてください。

アルファベットのうえに二重線の記号を見かけます。

前後を読んでいると、「補集合の補集合」という意味なのかな~と推測しているのですが、正解ですか?

また、読み方を教えてください。2行にわたっているので、ずれていますが、こんな感じの記号です。


A

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

それなら、バーバーは、補集合の補集合でいいでしょう。

問題については、ひとつめの式の変数名 B を
X に付け換えた後、X = Bバー を代入すれば解ります。

Q実数全体の集合,超実数全体の集合,複素数全体の集合の包含関係は?

超実数なるものを知りました。

「公理:Rは完備順序体である
公理:R*はRの真拡大順序体である
Rを実数体,R*を超実数体と言い、それぞれの元を実数,超実数と言う」

といったものですが
実数全体の集合,超実数全体の集合,複素数全体の集合の包含関係はどうなっているのでしょうか?

また、実数は直線,複素数は縦軸を書き足して平面として表す事が出来ますよね。超実数はこれらに何を書き足して表されるのでしょうか?

Aベストアンサー

#2,#4です。

(#5さんへ)

>> いいえ、lim Δx=0(Δx→0)です。

門外漢ながら、
http://www.shinko-keirin.co.jp/kosu/mathematics/jissen/jissen18.html
に lim[Δx→+0]Δx = dx という記述があったので#4のような回答をしました。
しかし、これには私も疑問を感じます。
恐らく、下記の説明のほうがいいのではないかと思います。

正の無限小超実数を1つ選び、dx とおく。
すると、lim[x→+0] f(x) の極限値が存在するならば、
lim[x→+0] f(x) = st(f(dx)) が成り立つ。
(ここで、st(f(dx)) は 超実数 f(dx) の標準部分を表す)

>> 集合の濃度と直感との間には隔たりがありますが、
>> (実数と1:1の)直線の濃度は超実数体の濃度には足りず、
>> 実数直線に何かを足しても直感は満足できないような気がします。

これについては、#3さんと同意見です。
もし直線が実数と1:1なら、#5さんの言うとおりだと思いますが、
直線を超実数と関連付けるような定義があっても不思議ではないと思います。

(質問者さんへ)

>> 単集合A:={L∈R*;0<∀r∈R,0<∃s∈R such that 0<Δx-0<s⇒|L-Δx|<r}≠φの時,Aのたった一つの元を

{}の中の詳細は議論しないことにしますが、
たった一つの元、ということではなさそうです。
上記(#5さんへ)で書いたように、
正の無限小超実数を1つ選び、dx とおくことになると思います。
正の無限小超実数はたくさんありますが、
そのうちのどれを選んでも議論が成り立つと思います。

>> 「あらゆる正の実数 r に対して,|ε| < r が成り立つとき,εを無限小超実数と呼ぶ.
>> 注)ある実数 r に対して |ε| < r が成り立つとき,εを有限超実数と呼ぶ.」
>> は無限小超実数ならば有限超実数と解釈できるのですが私の解釈で間違いないでしょうか?

間違いないです。無限小超実数は0に無限に近い超実数のことですし、
有限超実数は有限の実数に無限に近い超実数になりますから、
無限小超実数の集合⊂有限超実数の集合 になります。

#2,#4です。

(#5さんへ)

>> いいえ、lim Δx=0(Δx→0)です。

門外漢ながら、
http://www.shinko-keirin.co.jp/kosu/mathematics/jissen/jissen18.html
に lim[Δx→+0]Δx = dx という記述があったので#4のような回答をしました。
しかし、これには私も疑問を感じます。
恐らく、下記の説明のほうがいいのではないかと思います。

正の無限小超実数を1つ選び、dx とおく。
すると、lim[x→+0] f(x) の極限値が存在するならば、
lim[x→+0] f(x) = st(f(dx)) が成り立つ。
(ここで、s...続きを読む

Q集合 補集合 閉包

集合 補集合 閉包

補集合は、全体集合をUとすると全体集合からある集合Aを取り除いた部分の集合をAの補集合
と呼びます。記号では、Aバー,A^cなどで表されます。

閉包も同様にAバー,A^cの記号で表されますが、補集合と閉包は関係があるのでしょうか?
また、閉包については理解が乏しいので、解説(図解)していただけると有難いです。

ご回答、よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

● (B(a; r))^e = {x| x ∈ R^2, d(a, x) > r} の証明

  まず、{x| x ∈ R^2, d(a, x) > r} ⊆ (B(a; r))^e を示します。外部の定義より、(B(a; r))^e = ((B(a; r))^c)^i です。

  {x| x ∈ R^2, d(a, x) > r} に含まれる任意の点を b と表わすことにします。すなわち、b ∈ {x| x ∈ R^2, d(a, x) > r} です。この b が B(a; r)^c の内点であることを示せば、この証明の前半は完了します。( 添付画像・左を参照してください )

  b ∈ {x| x ∈ R^2, d(a, x) > r} より、d(a, b) > r です。この右辺を左辺にに移行すれば、d(a, b) - r > 0 です。この左辺を r' と置きます。すなわち、r' = d(a, b) - r > 0 です。これにより、b に対して r' という正の実数が存在することが確認されました。そして、b を中心とする半径 r' の球体 B(b; r') を新たに設けます。

  B(b; r') に含まれる任意の点を x と表わすことにします。すなわち、x ∈ B(b; r') です。三角不等式 (* 1) によって、次の 1) が満たされます。

1) d(a, b) ≦ d(a, x) + d(x, b)

  この 1) の右辺における d(x, b) (= d(b, x) < r') を左辺に移項します。これにより、次の 2) が満たされます。

2) r = d(a, b) - r' < d(a, b) - d(x, b) ≦ d(a, x)

  よって、x ∈ B(a; r) ではありません。よって、B(b; r') ⊆ (B(a; r))^c です。よって、b は (B(a; r))^c の内点です。これで前半の証明は完了しました。

  後半の証明として、(B(a; r))^e ⊆ {x| x ∈ R^2, d(a, x) > r} を示します。外部の定義より、(B(a; r))^e = ((B(a; r))^c)^i です。このことと内部の定義より、(B(a; r))^e ⊆ (B(a; r))^c は明らかです。さらに、(B(a; r))^c = {x| x ∈ R^2, d(a, x) ≧ r} ですから、次の 3) という包含関係が示されます。

3) (B(a; r))^e ⊆ {x| x ∈ R^2, d(a, x) > r}∪{x| x ∈ R^2, d(a, x) = r}

  そこで、次の 4) という包含関係を示せば、後半の証明は完了します。(* 2)

4) {x| x ∈ R^2, d(a, x) = r} ⊆ (B(a; r)^e)^c

  よって、{x| x ∈ R^2, d(a, x) = r} に含まれる任意の点を b と表わすことにし、すなわち b ∈ {x| x ∈ R^2, d(a, x) = r} であるとし、この b を中心とするどんな球体も B(a; r)^c の部分集合にならない、すなわちこの b を中心とするどんな球体も B(a; r) と必ず交わることが示されれば、後半の証明は完了します。

  任意の正の実数を r' と表わすことにします。すなわち, r' ∈ R, r' > 0 です。この r' に対して、正の実数 p を次の 5) という不等式を満たすように選びます。

5) p < min{1, r'/r}
  ( すなわち、r' ≧ r であるときは p < 1 を満たすように p を選び、r' < r であるときは p < r'/r (< 1) を満たすように p を選びます )

  そして、c という点を次の 6) のとおりに設けます。ただし、a = (a_1, a_2), b = (b_1, b_2) であるとします。( 添付画像・右を参照してください )

6) c = (b_1 + p(a_1 - b_1), b_2 + p(a_2 - b_2))

  このとき、次の 7) と 8) が満たされます。

7) d(a, c)
  = (((a_1 - (b_1 + p(a_1 - b_1)))^2) + ((a_2 - (b_2 + p(a_2 - b_2)))^2))^(1/2)
  = ((((a_1 - b_1) - p(a_1 - b_1))^2) + (((a_2 - b_2) - p(a_2 - b_2))^2))^(1/2)
  = (((1 - p)^2)((a_1 - b_1)^2) + ((1 - p)^2)((a_2 - b_2)^2))^(1/2)
  = (1 - p)(d(a, b)) = (1 - p)r < r

8) d(b, c)
  = (((b_1 - (b_1 + p(a_1 - b_1)))^2) + ((b_2 - (b_2 + p(a_2 - b_2)))^2))^(1/2)
  = (((p(a_1 - b_1))^2) + (((p(a_2 - b_2)))^2))^(1/2)
  = (((p^2)((a_1 - b_1)^2)) + ((p^2)((a_2 - b_2)^2)))^(1/2)
  = p(d(a, b)) = pr < r'

  よって、c ∈ B(a; r)∩B(b; r') です。すなわち、この c という点の存在により、b を中心とするどんな球体も B(a; r) と必ず交わることが示されます。

● (* 1)

  平面 (= 2次元 Euclid 空間 R^2) 上の 3つ の点 u, v, w を次のとおりに表わすものとします。

  u = (u_1, u_2), v = (v_1, v_2), w = (w_1, w_2)

  このとき、d(u, w) ≦ d(u, v) + d(v, w) という不等式が満たされます。すなわち、

  (((u_1 - w_1)^2) + ((u_2 - w_2)^2))^(1/2)
  ≦ ((((u_1 - v_1)^2) + ((u_2 - v_2)^2))^(1/2)) + ((((v_1 - w_1)^2) + ((v_2 - w_2)^2))^(1/2))

  という不等式が満たされます。この不等式は、平面上における三角不等式と呼ばれるものです。( 三角関数を含んでいる不等式のことを「 三角不等式 」と呼ぶこともあるようですが、それとは別です )

  s_1 = u_1 - v_1, s_2 = u_2 - v_2, t_1 = v_1 - w_1, t_2 = v_2 - w_2 と置きます。このとき、三角不等式は次のとおりに改められます。

  (((s_1 + t_1)^2) + ((s_2 + t_2)^2))^(1/2)
  ≦ (((s_1^2) + (s_2^2))^(1/2)) + (((t_1^2) + (t_2^2))^(1/2))

  この不等式は、両辺を 2乗 して、s_1^2, s_2^2, t_1^2, t_2^2 を消去し、2 で割って、2乗 することによって得られる次の不等式と同等です。

  ((s_1)(t_1) + (s_2)(t_2))^2 ≦ (s_1^2 + s_2^2)(t_1^2 + t_2^2)

  これは「 Schwarz の不等式 」です。「 Schwarz の不等式 」の証明については、高校数学で取り扱われているようですので、記述は省略します。

● (* 2)

  S, T, U をそれぞれ命題を表わすものとします。このとき、次の合成命題はトートロジーとなります。

  ((S→(T∨U))∧(U→¬S))→(T→S)

  この合成命題がトートロジーになっていることが、後半の証明のやりかたに深くかかわっていると、私は考えます。深くかかわっている理由を示すには、述語論理を加味した 推論図 ( もしくは演繹図 ? ) を描くという手段がてっとり早いと思われます。
  ところが、正式なその図の描きかたを、私は残念ながら知りません。お許しください。

● 以上の記述がまちがっていましたら、ごめんなさい。

● (B(a; r))^e = {x| x ∈ R^2, d(a, x) > r} の証明

  まず、{x| x ∈ R^2, d(a, x) > r} ⊆ (B(a; r))^e を示します。外部の定義より、(B(a; r))^e = ((B(a; r))^c)^i です。

  {x| x ∈ R^2, d(a, x) > r} に含まれる任意の点を b と表わすことにします。すなわち、b ∈ {x| x ∈ R^2, d(a, x) > r} です。この b が B(a; r)^c の内点であることを示せば、この証明の前半は完了します。( 添付画像・左を参照してください )

  b ∈ {x| x ∈ R^2, d(a, x) > r} より、d(a, b) > r です。この右辺を左辺にに移行す...続きを読む

Q数学についてです。 自然数全体の集合を S、その部分集合をU={3m+7n|m,nはSの要素}とお

数学についてです。

自然数全体の集合を S、その部分集合をU={3m+7n|m,nはSの要素}とおく。
このとき、U はある整数 k 以上のすべての整数を含むことを示せ。また、そのような k の最小値を求めよ。

このときmとnは自然数ですよね
だから mとnは1以上であるから
3m+7n 代入して 10になるから kの最小値は10ではないのですか?
わかる方がいれば詳しく教えてもらえるとありがたいです。
回答よろしくお願いしますm(_ _)m

Aベストアンサー

答えは22です。

n=1とすれば、
 3m+7=3(m+2)+1となり、10以上で、3で割った余りが1であると数は含まれることがわかる。

同様に、
n=2とすれば、17以上で3で割った余りが2である数は含まれ、
n=3とすれば、24以上で3で割った余りが0である数は含まれることがわかる。

したがって、22以上の全ての自然数は含まれることがわかる。
この22が最小であることを示すには21になるようなm,nが存在しないことをいえばよい。

Q補集合と余事象

数学の用語の問題なのですが、「補集合」と「余事象」って同じことですか?単に集合の範囲では「補集合」という言葉を使って、確率の話になると「余事象」という言葉をつかうのでしょうか?

Aベストアンサー

余事象の定義は何ですかって話になりますね。
高校生ですよね。大学生なら、「質問する前に余事象の定義を示せ」ということになりますから。

事象Aの補集合で定まる事象A~をAの余事象という。

ですから、標本空間における事象Aの補集合がAの余事象であり、かつ、余事象も事象だという扱いです。確率論でのみ使用される用語であると言って良いと思います。

Q自然数全体の集合と非負の偶数全体の集合の大きさは等しい

というのがありますが、なぜですか?
どうみたって、要素数は自然数の方が
多いですよね?

Aベストアンサー

おわかり頂ける説明が難しいんですよね。

無限ホテル
部屋数が無限のホテルがあります。部屋には番号がふってあります。
1, 2, 3, ・・・・
今、部屋は満員です。

ここに一人の客が来ました。ホテル支配人は館内放送で、
「お客様、恐れ入りますが、一つとなりの部屋にずれてください」
客は、N→N+1に移りました。そしてNo.1の部屋が空き、そこに
後から来た客が入りました。
∞+1=∞

100人来た時も同様に、N→N+100に移ってもらいました。
∞+100=∞

次に、なんと!無限人の人が来ました。ホテル支配人はあせらず、
館内放送で、
「お客様、恐れ入りますが、今の部屋番号の2倍の部屋に移って
ください」
N→2Nに移り、奇数の部屋が空いたので、後から来た無限人の客
が入りました。
∞+∞=∞

自然数の数は有理数の数とも同じです。

無理数も含めた実数となると、自然数より大きな無限大です。
自然数と実数は1対1対応させられません。

以上

Q補集合の性質について

数学Aからです。恐らく間違ってないと思うのですが…

図より、n(U)={40}、n(A)={18}、n(B)={25}、n(A∩B)={6}にて、
____
n(A∪B)を求めろ。という問題ですが、_ _
これは、n(A∩B)と同じですね。補集合Aと補集合Bの共通部分の個数は、AまたはBの共通部分が重複しないように計算すれば、40-{18+(25-6)}=3だと思うのですが…また、図を補集合Aと補集合Bについて斜線を引けば、二つが重なる部分(共通部分)の個数は、やはり3だと思うのですが、これは誤りでしょうか?

Aベストアンサー

まず例n(A)={18}中括弧わつかいません

AとBの和集合の補集合の求め方わ
AとBの和集合を求めそれを全体集合から
ひくと求められます。

よって
´____
n(A∪B)=n(u)-n(A∪B)
´´´`=40-37
´´´`=3

あってますよっ(^^)v

Q「可測空間(A,B)上のf-可測集合全体Mはσ集合体をなす」の証明

下記の命題の(iii)がどうしても示せません。


[定義]f:B→R∪{+∞}を可測空間(A,B)上の外測度。
⇔(def)
(i) f(2^A)⊂[0,∞],特にf(φ)=0
(ii) C⊂D(C,D∈2^A)⇒f(C)≦f(D)
(iii) f(∪[n=1..∞]C_n)≦Σ[n=1..∞]f(C_n) (C_n∈2^A (n∈N))
[定義]f:B→R∪{+∞}を可測空間(A,B)上の外測度とする。E(⊂A)は(A,B)上でf-可測(集合)。
⇔(def)
∀C∈2^A,f(C)=f(C∩E)+f(C∩E^c)

[命題] (A,B)を可測空間とする。(A,B)上のf-可測集合全体Mはσ集合体をなす。
[証]
(i) E∈M⇒E^c∈Mは
今E∈Mなので∀C∈2^A,f(C)=f(C∩E)∪f(C∩E^c)が成立。
これはf(C)=f(C∩E^c)∪f(C∩(E^c)^c)とも書けるのでE^c∈M
(ii) φ∈M
∀C∈2^A,f(C)=f(C∩A)=f(C∩(φ∪φ^c))=f((C∩φ)∪(C∩φ^c))と書ける。
従って,f-可測の定義よりφ∈M
(iii) E_i∈M (i∈N)⇒∪[i∈N]E_i∈M
E_i∈Mより∀C∈2^A,f(C)=f((C∩E_i)∪(C∩E_i^c))と書ける。
これからどうやって
f(C)=f((C∩(∪[i∈N]E_i))+f(C∩(∪[i∈N]E_i)^c)
が導けますでしょうか?

下記の命題の(iii)がどうしても示せません。


[定義]f:B→R∪{+∞}を可測空間(A,B)上の外測度。
⇔(def)
(i) f(2^A)⊂[0,∞],特にf(φ)=0
(ii) C⊂D(C,D∈2^A)⇒f(C)≦f(D)
(iii) f(∪[n=1..∞]C_n)≦Σ[n=1..∞]f(C_n) (C_n∈2^A (n∈N))
[定義]f:B→R∪{+∞}を可測空間(A,B)上の外測度とする。E(⊂A)は(A,B)上でf-可測(集合)。
⇔(def)
∀C∈2^A,f(C)=f(C∩E)+f(C∩E^c)

[命題] (A,B)を可測空間とする。(A,B)上のf-可測集合全体Mはσ集合体をなす。
[証]
(i) E∈M⇒E^c∈Mは
今E∈Mなので∀C∈2^A,f(C)=f(C∩E)∪f(C∩E^c)が成立。
...続きを読む

Aベストアンサー

F_1:=UE_i, F_2=F_3=…=φと取れば F_i (i∈N)は互いに素ですけど
UF_i∈Mとなるかどうかは分かりませんよね。

この場合はF_1∈Mに入っているかわからないので意味がないと思います。定義は、各iに対してF_i∈Mが前提となっております。

論文P16の真ん中部分で、Mは補集合、有限加法性に閉じている。
後、各nに対して、F_n∈M(F_nは互いに素)ならば∪F_n ∈M(可算和集合)も成り立つことは分かったと思います。

後は、
(1)E_1=F_1,E_n=F_n∩(∪_{i=1 to n-1}E_i)^{c} (n>2)とおくと 、
各nに対して E_n∈Mである。
なぜなら、 補集合と有限加法性から分かると思います。
そして、このようE_nをとると、
∪F_i=∪E_i (可算和集合)
が成立する。
よって,各nに対してF_n∈M ならば∪F_n∈Mを示せば十分ということになります。

間違ってたらごめんなさい。久しぶりに考えたので。

Q高校数学Aの補集合について

高校の数学の予習でわからないところがありましたので、質問させていただきました。

補集合の性質がどうもうまく理解できません。

写真を添付いたしましたので、わかる方回答お願いします。

Aベストアンサー

以下の表記で、アポストロフィ付は補集合を表わします。

A ⋂ A’= φ : 集合A(たとえば円A)と、その補集合A’(円Aの外側)との積集合(重なった部分)は、φ空集合となる(=重なる部分がない)。なお、φ(ファイ)は0(ゼロ)と書いてもよいのですが、O(オー)との混同を避けるために、集合論ではよくこの記号が使われます。

A ⋃ A’= U : 集合Aと、その補集合A’との和集合(加えたもの)は、全体集合である。

A’’= A : Aの補集合であるA’の、そのまた補集合であるA’’は、結局のところ集合Aと等しい。

A⊂B ならば A’⊃ B’: AがBの部分集合(=AがBに含まれる・属している)ならば、〔Bの補集合である〕B’は、〔Aの補集合である〕A’の部分集合である。

実際に四角や円で図を描いて考えると分かりやすいでしょう。特に、最後の命題は頭で考えるだけではチンプンパンプンて感じですが、図を描くと実に明快です。

なお、覚えやすさのために1つ補足しておきます。
⋂や⋃の記号とその意味の区別がしにくい場合には、⋂(積集合)を英語でmeetと言いますので、この頭文字のMの形とこの記号との類似性で覚えましょう。また、⋃(和集合)を英語でjointと言いますので、この頭文字のJの形とこの記号との〔部分的〕類似性で覚えましょう。

以下の表記で、アポストロフィ付は補集合を表わします。

A ⋂ A’= φ : 集合A(たとえば円A)と、その補集合A’(円Aの外側)との積集合(重なった部分)は、φ空集合となる(=重なる部分がない)。なお、φ(ファイ)は0(ゼロ)と書いてもよいのですが、O(オー)との混同を避けるために、集合論ではよくこの記号が使われます。

A ⋃ A’= U : 集合Aと、その補集合A’との和集合(加えたもの)は、全体集合である。

A’’= A : Aの補集合であるA’の、そのまた補集合であるA’’は、結局のところ...続きを読む

QU^cが閉集合ならばf^-1(U^c)が閉集合になるのは何故?

連続の問題です。

[問]E⊂R:実数体,f:E→Rとする時、
R⊃∀F:閉集合に対しf^-1(F)はEの閉集合⇒fがEで連続

を解いています。
∀U⊂Rを開集合とするとU^cは閉集合となる。
x∈f^-1(U^c)
⇔f(x)∈U^c
⇔¬(f(x)∈U)
⇔¬(x∈f^-1(U))
⇔x∈(f^-1(U))^c
よって(f^-1(U))^c=f^-1(U^c)は閉集合である。f^-1(U)は閉集合だからfは連続。

という証明を見つけました。

ところで
(f^-1(U))^c=f^-1(U^c)となる事は分かったのですが

U^cが閉集合ならばf^-1(U^c)が閉集合
になるのは何故なのでしょうか?

Aベストアンサー

>U^cが閉集合ならばf^-1(U^c)が閉集合
>になるのは何故なのでしょうか?
問題文を読み返して下さい。それがf に対する前提です。


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