二つの円の交点を通る直線

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質問者：huuriouzi
質問日時：2011/05/21 22:00
回答数：3件

二つの円C、Dが二点で交わる時、
方程式　k(Cの式)＋(Dの式)＝0(kは定数)は
kノットイコール－1のとき二つの円の交点を通る円
k＝－1のとき二つの円の交点を通る直線

これは何故そうと言えるのですか？

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回答 (3件)

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No.2ベストアンサー

回答者： partita
回答日時：2011/05/21 22:54

一般論として

k・f(x,y)+g(x,y)=0 ・・・(A)
は必ずf(x,y)=0とg(x,y)=0の交点を通る曲線（直線含む）になります。(=0、というのが大事）
なぜなら、交点の座標を(A)の左辺に代入したら必ずゼロになり、つまりは(A)が等式として成立。つまり、交点を通る曲線になるからです。ここまでが難しいかな？でも、よく考えたら当たり前の簡単な事実なのでじっくり時間をかけてでも理解してください。

円を扱う高校数学ではk=-1としたら(A)式ではx^2とy^2の項が消去されます。
だから(A)式は「交点を通る」直線になります。
ただし、f(x.y)とg(x,y)のx^2とy^2の項の係数が同じであることが前提。

kが-1でないときは(A)のx^2とy^2の項は残るので円になります。

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No.3

回答者： 1ypsilon1
回答日時：2011/05/21 22:54

この問題は非常に理解が難しい問題です。

まず２つの交点と通るのが
k(Cの式)＋(Dの式)＝0(kは定数)　の式で書けるということです。

２つの交点と通るだけしか条件がありませんので
直線になるのか、円になるのか、また他の形になるのかはわかりません。

直線にしたいということは、すべての文字について１次式ということになります。
CもDも円なのでx^2、y^2を消したいという考えが出てきます。
だから　ｋ＝－１　になるのです。

どちらかといえば、直線にしたいから２次式は消したくて　ｋ＝－１　という考え方が出てくるのが流れだと思います。

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No.1

回答者： gohtraw
回答日時：2011/05/21 22:45

ｋ＝－１の場合、ｘ＾２、およびｙ＾２の項が消えてしまい、ｘ、ｙの双方について一次の式になるので結果として直線の式になります。

ｋがー１でない場合はｘ＾２、ｙ＾２の項が残るので円の式になります。

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この回答へのお礼

なるほど、単純にそうですね。

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お礼日時：2011/05/22 04:31

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2つの円
f(x，y)
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があるとき、二つの交点を通る直線の方程式は
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である。（ただし一次方程式）

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Aベストアンサー

2つの円f(x，y),g(x，y)
があるとき、二つの交点を通る直線の方程式は
　k・f(x，y)＋g(x，y)＝0　（kは定数）
である。（ただし一次方程式）

★一次方程式になるようにk　を代入します。
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k(...続きを読む

Aベストアンサー

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> 求める円を　x^2+y^2+ax+by+c=0　として

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> k(x^2+y^2-25)+x^2+y^2+ax+by+c=0

という所をあからさまに

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＞２つの円の交点を通る直線の方程式の求め方も、
＞根本的にはこれと同じだと考えてよろしいでしょうか？
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より、

x^2 - 2tx + y^2 + 2{(a/b)t-(a^2/2b+b/2)}y = 0－－－－(1)

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kf(x,y) + g(x,y) =
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k=-1ならばkf(x,y)+g(x,y) = 0は直線になるので、k+1≠0のみ
について考えればよい事から、(2)式の両辺を(k+1)で割れば、

x^2 - 2(kt1+t2)/(k+1)x + y^2 + 2(a/b){(kt1+t2)/(k+1) -(a^2/2b + b/2)}y = 0 ------- (3)

ここで、

t = t3となるようなkの値が存在するかを確認すれば、
g(x,y) = x^2 - 2t3x + y^2 + 2{(a/b)t3 -(a^2/2b+b/2)}y = 0
(3)式と恒等的に等しくなるには、

-2(kt1+t2)/(k+1)x = -2t3x－－－－－－－(4)
2(a/b){(kt1+t2)/(k+1) -(a^2/2b + b/2)}y = 2{(a/b)t3 -(a^2/2b+b/2)}y－－－－－－－－－－－(5)

(4)より、
(kt1+t2) = t3(k+1)
(t1-t3)k = t3-t2
k = (t3-t2)/(t3-t2)
(5)も同様の方程式になるので、
t1≠t3となるようなkの値は存在する事がいえます。
すなわち、t1≠t3となるような任意のt3に対応する円の方程式は
kf(x,y) + g(x,y) = 0と表す事が出来ます。
なお、t1=t3となるようなt3のときの円の方程式は、f(x,y)=0になるので、
これは、kf(x,y)+g(x,y)=0の形式では表せません。

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（但しg(x,y)=0は唯一表せない）

詳しくは以下のURLをどうぞ。

参考URL：http://www.synapse.ne.jp/~dozono/math/anime/pencil-of-circleslines.htm

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回答よろしくお願いします。

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> また、なぜk倍しているのでしょうか??

「2直線の式を足すと、両者の交点の座標を通る直線の式が求まる理由」が分からないと、
恐らく理解できないと思います。

直線の式にある点の座標を代入したときに等式が成り立つなら、
その直線はその点を通る事になります。
例えばy = 3x + 2に適当な座標(x, y) = (1, 3)を代入すると、等号が成り立ちません。
この時「直線y = 3x + 2は点(1, 3)を通らない」という事が分かります。
y = 3x + 2に座標(x, y) = (2, 8)を代入すると、今度は等号が成り立ちます。
この時「直線y = 3x + 2は点(2, 8)を通る」と判断できます。

直線ax + by + c = 0と直線a'x + b'y + c' = 0の交点を(X, Y)とする時、
aX + bY + c = 0かつa'X + b'Y + c' = 0が同時に満たされます。

ここで、2直線の式を足した

(ax + by + c) + (a'x + b'y + c') = 0
（整理すると(a + a')x + (b + b')y + (c + c') = 0）

という直線の式を作ってみます。
この直線に(x, y) = (X, Y)を代入してみてください。
すると(aX + bY + c) = 0, (a'X + b'Y + c') = 0なので、
(aX + bY + c) + (a'X + b'Y + c') = 0
という等号が成立します。
よって(ax + by + c) + (a'x + b'y + c') = 0は
2直線の交点(x, y) = (X, Y)を通るという事が言えます。

ここで例えばこんな等式を作ってみます。

2(ax + by + c) + 3(a'x + b'y + c') = 0
（整理すると(2a + 3a')x + (2b + 3b')y + (2c + 3c') = 0）

この等式にも同じように(x, y) = (X, Y)を代入してみて下さい。
すると先ほどと同様の理由で、やはり等式が成り立ちます。
つまり「直線2(ax + by + c) + 3(a'x + b'y + c') = 0も点(X, Y)（2直線の交点）を通る」
という事が言えます。
これは9(ax + by + c) + 2(a'x + b'y + c') = 0や
(1/3)(ax + by + c) - 0.5(a'x + b'y + c') = 0や
-π(ax + by + c) - 1423(a'x + b'y + c') = 0にも言えることです。
つまりこれらの直線も「2直線の交点を通る直線」であるということになります。
一般化すると、
「m(ax + by + c) + n(a'x + b'y + c') = 0という形の直線は、
必ず2直線の交点(X, Y)を通る」という事になります。
なので正しくは、
「2直線の交点を通る直線の式は、m(ax + by + c) + n(a'x + b'y + c') = 0で表わされる」
です。

ただ直線の式は両辺を定数倍しても同じ直線を表します
（例えば2x - 3y + 3 = 0と4x - 6y + 6 = 0は同じ直線を表します）。
そこで先ほどのm(ax + by + c) + n(a'x + b'y + c') = 0の両辺をmで割って(1/m倍して)、
ax + by + c + (n/m)(a'x + b'y + c') = 0
とし、(n/m) = kとおいて
ax + by + c + k(a'x + b'y + c') = 0
と変形してみます。
こうすることで2つの文字式n, mを1つの文字式kで代用させることができます。
文字式が少ない方が式がすっきりしますよね。
高校数学の教科書、参考書ではこのすっきりした形が好まれているようです。
ただ、これだとm = 0の場合の直線が作れないという欠点があるんですけどね。

> そもそも、なぜ異なる２式を(＊)のように足すことができるのでしょうか??

等式であれば左辺同士、右辺同士を足す事に問題は無い気がします。
連立方程式の加減法による解法も、異なる等式2つを足していますよね。

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Q倫理って何を勉強するのですか。

高校の選択教科に倫理がありますが、どんなことを勉強するのかよくわかりません。
選択教科を決めるのにまよっています。
どなたか、アドバイスお願いたします。

Aベストアンサー

pearさんの学校には「倫理」があるのですね。どちらかというと珍しいと思います。もっとも選択教科ということですが、どういう意味の選択なのでしょうか。というようなこちらの疑問はおいておきます。

さて、高校倫理の内容ですが下のsesameさんがおっしゃっているような「哲学史」ではありません。ちょっと脱線しますが、例えば哲学史上の巨人の一人にカントという人がいます。カントの哲学的な業績は「純粋理性批判」という本で理性の限界を示し、哲学の対象を限定したことにあるのですが高校倫理ではそれについては触れません。そして「実践理性批判」で展開した道徳論が教えられています。高校倫理を教える人はおそらくカントの「純粋理性批判」とその内容について授業中話すことと思いますが、それは倫理で教える内容とされているわけではありません。このように倫理は確かに哲学の一分野でありますが、そのすべてではないことと、高校倫理には青年心理学・社会学・民俗学などの分野も入っています。

おおざっぱにいうと高校倫理は「今の日本や世界での（正しいとされている）道徳の内容とその由来」を考えるものです。また、宗教も道徳を示しますが、世界の主要な宗教の基本的な考え方も学びます。
例えば、
「無為自然」に生きることが人生の幸せを得る道である、とか
いつ契約したかわからないけれど、「社会契約」によって私たちの社会は成り立っている、とか
すべての生き物には仏になれる性質がある、とか
人の本性は善か悪か、とか
そのようなことを私たちはいつのまにか知っていたり、考えたりしますが、それらは自然に浮かび上がってきたものではなくて誰かが考えついたり、きちんとまとめたりしたものが伝わってきているのです。そして、その人たちや集団の考え方を知るうちに、逆に今の私たちが「道徳」として守っていくべきことが何であるかが見えてきます。青年心理学なども、高校生ぐらいの青少年が自分自身について悩みを持ち、「自分とは何か」を求めていくことに対しての１つのヒントになっています。

このように、高校倫理は「道徳とはどのようなものか」「人生をどのように生きるべきか」「社会とは何か」というような大切な問題について、自分で考えていこうとするときに、その手がかりを与えてくれる科目です。

（ただ、私はこのように考えていますが、教員によっては単なる倫理用語や知識の羅列であったり、西洋哲学史を教えるだけであったり、カントやヘーゲル、マルクスなどの特定の分野だけに力を入れて教えたりするかもしれません。センター入試対策であれば用語知識の羅列である方が哲学史や特定分野を教えられるより有効ですが、「倫理」を考えるという点では後者の方が有効でしょう。）

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Q分子結晶と共有結合の結晶の違いは？

分子結晶と共有結合の結晶の違いはなんでしょうか？
参考書を見たところ、共有結合の結晶は原子で出来ている
と書いてあったのですが、二酸化ケイ素も共有結合の
結晶ではないのですか？

Aベストアンサー

●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
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立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を１つの大きな分子（巨大分子）とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね（＾＾；
確かにこの２つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
先ほども書いたように「原子で出来ている」わけではなく、
「原子が共有結合で結びついて配列」しているのです。
ですから二酸化ケイ素Ｓｉ...続きを読む

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