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(1)周囲の長さが20ですから、隣り合う辺の長さの和は10です。
従って一辺の長さをxとすると隣り合う辺の長さは10-xです。この長方形の面積はx(10-x)で表されるのでこの最大値を求めればいいことになります。x(10-x)=-x^2+10x
=-(x-5)^2+25
なので、この式の値はx=5のとき25で最大となります。
(2)問題の正方形の面積はこの長方形の対角線の長さの二乗と等しくなり、それは三平方の定理より(1)で使ったxを用いて
x^2+(10-x)^2
と表されます。
x^2+(10-x)^2=2x^2-20x+100
=2(x-5)^2+50
なので、x=5のとき正方形の面積は50で最小になります。
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