No.3ベストアンサー
- 回答日時:
1階の常微分方程式
dy/dx = f(x, y)
の解
y = y(x)
に対して,初期条件
y0 = y(x0)
が与えられているなら,十分小さいhに対して,
y(x0 + h) ≒ y(x0) + y'(x0) h = y0 + f(x0, y0) h
が成り立ちます(1次近似).
# この1次近似がオイラー法の根本的な原理であり,これが解らなければ,オイラー法が解っていないというよりも,微分という考え方がまだ理解できていないと思われますので,もしそうなら,1次近似について復習してください.
そこで,
x1 = x0 + h
と置くと,
y(x1) ≒ y0 + f(x0, y0) h = y1
と表せます.
この式で求められるy1は飽くまで近似値なので,真の解のグラフが点(x1, y1)を通るとは限らないのですが,当たらずとも遠からずってとこでしょうから,点(x1, y1)が真の解のグラフ上にあるものとみなし,この点で同じ近似を行います:
y(x2) ≒ y(x1) + y'(x1) h = y1 + f(x1, y1) h = y2
同じようにして,逐次近似を行っていくと,一連の近似値が得られます:
y1 = y0 + f(x0, y0) h,
y2 = y1 + f(x1, y1) h,
y3 = y2 + f(x2, y2) h,
y4 = y3 + f(x3, y3) h,
...
そこで,xにおける解の値y(x)の近似値が欲しければ,区間[x0, x]をn等分し(本当は等分でなくてもいいのですが,簡単のためそうします),それぞれの分点に
x0, x1, x2, ..., x[n-1], xn = x
と名前を付けると,
y1 = y0 + f(x0, y0) h,
y2 = y1 + f(x1, y1) h,
...
y[n-1] = y[n-2] + f(x[n-2], y[n-2]) h,
yn = y[n-1] + f(x[n-1], y[n-1]) h.
これがオイラー法です.
このやり方は素朴で分かりやすいのですが,誤差が蓄積しますので,精度はあまり良くありません.
で,今回の微分方程式
dy/dx = -2x y^2,
y(0) = 1
ですが,VBSで簡単なコードを書いてみました:
'Euler法
Option explicit
Function f(x, y)
f = -2*x*y^2
End Function
Dim x, xn, y, h
Dim n, i
'初期条件
x = 0
y = 1
xn = 1 '評価点
n = 10 '分割数
h = (xn - x)/n '幅
For i = 1 To n
y = y + h*f(x, y)
x = x + h
Next
MsgBox "y(" & xn & ") = " & y
これをメモ帳でも何でもいいからテキストエディタで拡張子.vbsのテキトーなファイル名で保存し,アイコンをダブルクリックすると,
y(1) = 0.503641976039014
とか値が出力されます.
この微分方程式は,ANo.2さんが回答してくださっているように解析的に解けるのですが(変数分離形),真の解は
y(1) = 0.5
なので,確かに「当たらずとも遠からず」って感じです.
No.2
- 回答日時:
dy/dx=-2xy^2
∫y^{-2}dy=∫-2xdx
-y^{-1}=-x^2+c
-1=c
-y^{-1}=-x^2-1
y=1/(x^2+1)
y(1)=1/2
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・14歳の自分に衝撃の事実を告げてください
- ・架空の映画のネタバレレビュー
- ・「お昼の放送」の思い出
- ・昨日見た夢を教えて下さい
- ・【お題】絵本のタイトル
- ・【大喜利】世界最古のコンビニについて知ってる事を教えてください【投稿~10/10(木)】
- ・メモのコツを教えてください!
- ・CDの保有枚数を教えてください
- ・ホテルを選ぶとき、これだけは譲れない条件TOP3は?
- ・家・車以外で、人生で一番奮発した買い物
- ・人生最悪の忘れ物
- ・【コナン30周年】嘘でしょ!?と思った○○周年を教えて【ハルヒ20周年】
- ・ハマっている「お菓子」を教えて!
- ・最近、いつ泣きましたか?
- ・夏が終わったと感じる瞬間って、どんな時?
- ・10秒目をつむったら…
- ・人生のプチ美学を教えてください!!
- ・あなたの習慣について教えてください!!
- ・牛、豚、鶏、どれか一つ食べられなくなるとしたら?
- ・都道府県穴埋めゲーム
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
確率の問題で、「5人の中から3...
-
10の-9乗ってどういう意味ですか?
-
高校数学Ⅰ・Aです。 2200の正の...
-
高低差のある支持点で,電線の...
-
線形計画法について
-
最大誤差と標準偏差による誤差...
-
DFTの計算
-
幾何学の問題
-
対数方程式ってこうやって最終...
-
数学A 2桁以上の自然数Nについ...
-
行列を利用した連立一次方程式...
-
連立方程式が解を持つように行...
-
結合法則
-
x = (x1, x2, . . . , xn)∈ R^n...
-
数学得意な方!!!!!
-
プラスとマイナスが入った比率...
-
3000円が3割なら10割はいくらで...
-
シグマなど文字を含んだままで...
-
真割引とは?
-
滴定の実験で、結果をExcelで一...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
おすすめ情報