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|x|/(x^2+1)の導関数を求めよ。

絶対値の微分がわかりません!教えてください(m__m)

A 回答 (6件)

f(x)=|x|/(x^2+1)


x>0のとき
f'(x)=(1-x^2)/(x^2+1)^2
x<0のとき
f'(x)=(x^2-1)/(x^2+1)^2
x=0のとき
右微分係数
f'+(0)=lim_{x→+0}{f(x)-f(0)}/x=lim_{x→+0}1/(x^2+1)=1
左微分係数
f'-(0)=lim_{x→-0}{f(x)-f(0)}/x=lim_{x→+0}-1/(x^2+1)=-1
f'+(0)=1≠-1=f'-(0)
だから
x=0のとき微分不可能だから導関数は存在しない
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この回答へのお礼

ありがとうございます^^

お礼日時:2011/06/18 02:11

勘違いあり。



x=0 での左微分係数と右微分係数が一致すれば、
その関数は x=0 で微分可能ではある。

しかし、A No.4 では、
x>0 での微分係数の x→-0 での極限と
x<0 での微分係数の x→+0 での極限が
一致する話をしている。

それが x=0 で微分可能であることの
十分条件にならないことは、
x≠0 のとき f(x)=sin(x),
x=0 のとき f(x)=44.
である f(x) などの関数を微分してみれば解る。

この回答への補足

左微分係数と右微分係数とはなんですか?

補足日時:2011/06/11 23:36
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|x|については場合分けをすればよい。


x<0とx≧0の場合で||を外してみてそれから微分を行う。

x=0において微分可能かどうかは導関数のx=0に置ける連続性を確認すればよい。
簡単に言えば、x<0の時の導関数とx≧0の時の導関数にそれぞれ"0"をいれて一致するかどうか確認する。
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パッと見でも x=0 で微分不能なことは分かります。


|x|/(x^2+1) = f(x) が微分可能だとすると、
|x| = (x^2+1) f(x) より、積の微分法によって
|x| も微分可能ということになってしまいます。
|x| は x=0 で微分不能ですよね。

あとは、x>0 の範囲と x<0 の範囲で
それぞれ微分しとけばよいのではないでしょうか。
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こんにちは。



絶対値記号の中身が0未満の区間と0超えの区間の2つに分ければよいです。

この場合は、絶対値記号の中身がxなので、x<0 と x>0 に場合分けします。

x<0 のとき
y = |x|/(x^2+1) = -x/(x^2+1)

x>0 のとき
y = |x|/(x^2+1) = x/(x^2+1)

商の微分ですね。
あとは、ご自分でどうぞ。
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絶対値の記号が含まれない形にして考えればよいかと、


記号を外すには○○分けするしかないですよね・・・
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