絶対値の微分

|x|/(x^2+1)の導関数を求めよ。

絶対値の微分がわかりません！教えてください(m__m)

No.6 ベストアンサー 回答者： muturajcp 回答日時： 2011/06/13 15:00

f(x)=|x|/(x^2+1)

x>0のとき
f'(x)=(1-x^2)/(x^2+1)^2
x<0のとき
f'(x)=(x^2-1)/(x^2+1)^2
x=0のとき
右微分係数
f'+(0)=lim_{x→+0}{f(x)-f(0)}/x=lim_{x→+0}1/(x^2+1)=1
左微分係数
f'-(0)=lim_{x→-0}{f(x)-f(0)}/x=lim_{x→+0}-1/(x^2+1)=-1
f'+(0)=1≠-1=f'-(0)
だから
x=0のとき微分不可能だから導関数は存在しない

この回答へのお礼

ありがとうございます＾＾

お礼日時：2011/06/18 02:11

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2011/06/11 20:30

勘違いあり。

x=0 での左微分係数と右微分係数が一致すれば、
その関数は x=0 で微分可能ではある。

しかし、A No.4 では、
x＞0 での微分係数の x→-0 での極限と
x＜0 での微分係数の x→+0 での極限が
一致する話をしている。

それが x=0 で微分可能であることの
十分条件にならないことは、
x≠0 のとき f(x)=sin(x),
x=0 のとき f(x)=44.
である f(x) などの関数を微分してみれば解る。

この回答への補足

左微分係数と右微分係数とはなんですか？

補足日時：2011/06/11 23:36

No.4 回答者： rnakamra 回答日時： 2011/06/11 19:54

|x|については場合分けをすればよい。

x<0とx≧0の場合で||を外してみてそれから微分を行う。

x=0において微分可能かどうかは導関数のx=0に置ける連続性を確認すればよい。
簡単に言えば、x<0の時の導関数とx≧0の時の導関数にそれぞれ"0"をいれて一致するかどうか確認する。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2011/06/11 19:07

パッと見でも x=0 で微分不能なことは分かります。

|x|/(x^2+1) = f(x) が微分可能だとすると、
|x| = (x＾２+１) f(x) より、積の微分法によって
|x| も微分可能ということになってしまいます。
|x| は x=0 で微分不能ですよね。

あとは、x>0 の範囲と x<0 の範囲で
それぞれ微分しとけばよいのではないでしょうか。

No.2 回答者： sanori 回答日時： 2011/06/11 18:45

こんにちは。

絶対値記号の中身が０未満の区間と０超えの区間の２つに分ければよいです。

この場合は、絶対値記号の中身がｘなので、ｘ＜０　と　ｘ＞０　に場合分けします。

ｘ＜０　のとき
ｙ　＝　｜ｘ｜／（ｘ^2＋１）　＝　－ｘ／（ｘ^2＋１）

ｘ＞０　のとき
ｙ　＝　｜ｘ｜／（ｘ^2＋１）　＝　ｘ／（ｘ^2＋１）

商の微分ですね。
あとは、ご自分でどうぞ。

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2011/06/11 18:38

絶対値の記号が含まれない形にして考えればよいかと、

記号を外すには○○分けするしかないですよね・・・