No.8ベストアンサー
- 回答日時:
空間Xの部分集合Eに対し、
Eは疎である. ⇔ Int(ClE)=φ. (Eの閉包は内点をもたない。)
は定義なのですが次の言い換えを利用する方がよいでしょう。
Eは疎である. ⇔ Cl(X-ClE)=X. (Eの閉包の補集合はXで稠密である。)
問題の証明ですが、E, Fは疎とします。
任意の空でない開集合Uに対して、
U∩(X-Cl(E∪F))=U∩(X-(ClE∪ClF))
=U∩(X-ClE)∩(X-ClF)
という等式が一般的に成立していますが、終結式において、
Eが疎である(X-ClEは稠密である)ことから
U∩(X-ClE)は空でないことがわかり、さらにこれは開ですから
Fが疎である(X-ClFは稠密である)ことによって
U∩(X-ClE)∩(X-ClF)は空でないことがわかります。
従がって、等式から
U∩(X-Cl(E∪F))は空でないこと、即ち、X-Cl(E∪F)はXで稠密であること、即ち、E∪Fは疎であることが示されます。
No.7
- 回答日時:
♯5の訂正です。
度々すいません。「♯3のdaimaohさんの6行目は
V⊂Xが閉集合⇔p∈X-V or V:有限集合 or V=X
となっていますが、これは
V⊂Xが閉集合⇔p∈X-V and V^c:無限集合 and V≠φ
の誤りです。
このとき,E,Fは閉集合だから閉包は変わらないがE,F≠φです。
よってE,Fは疎な集合ではないので反例は誤りです。」
反例の反例については問題ないかと。
それから
「U⊂Xが開集合⇔p∈U or U^c(=Uの補集合):有限集合 or U=φ と定義するとXに位相が入る」のは正しいと思います。
p∈X-U としてしまったら、位相にならないのでは?
No.5
- 回答日時:
♯4の訂正です。
正しくは
「♯3のdaimaohさんの6行目は
V⊂Xが閉集合⇔p∈X-V or V:有限集合 or V=X
となっていますが、これは
V⊂Xが閉集合⇔p∈X-V and V:有限集合 and V≠φ
の誤りです。
したがって、E,Fは閉集合ではないのでこの反例は誤りです。
反例の反例(?)として
X=Z(整数),E={x∈Z|x<p},F={x∈Z|p<x}
を考えるとよいと思います。」
訂正した部分は「V≠φ」のところと、「E,Fは閉集合ではないので」のところです。
No.4
- 回答日時:
♯3のdaimaohさんの6行目は
V⊂Xが閉集合⇔p∈X-V or V:有限集合 or V=X
となっていますが、これは
V⊂Xが閉集合⇔p∈X-V and V:有限集合 and V=X
の誤りです。
したがって、E,Fは無限集合なので開集合で、この反例は誤りです。
反例の反例(?)として
X=Z(整数),E={x∈Z|x<p},F={x∈Z|p<x}
を考えるとよいと思います。
No.3
- 回答日時:
あれれ?この命題は成立しませんね。
反例:
X:無限集合,p∈Xをfix(固定)します。
U⊂Xが開集合⇔p∈U or U^c(=Uの補集合):有限集合 or U=φ
と定義するとXに位相が入ります。このとき,
V⊂Xが閉集合⇔p∈X-V or V:有限集合 or V=X
となります。
さて,X-{p}は無限集合ですから,それを二つの無限集合,E,Fに分けます。
このとき,E,Fは閉集合ですから閉包は変わらず,しかもφ以外の開集合を含みませんから内点はありません。
しかし,E∪Fは補集合が有限なので開集合となり,内点を持ちます(すべて内点です)。
No.2
- 回答日時:
E^aをEの閉包、E^iをEの内部、U_xをxの近傍とする。
Eが疎な集合
⇔
(E^a)^i=φ
⇔
∀xで、U_x⊂E^aとなるU_xが存在しない
(E^a)^i=φかつ(F^a)^i=φであるから
∀xで、U_x⊂E^aとなるU_xと、U'_x⊂F^aとなるU'_xが存在しない
⇒
∀xで、U_x⊂(E^a∪F^a)となるU_xが存在しない
ここでE^a∪F^a=(E∪F)^aであるから、
∀xで、U_x⊂(E∪F)^aとなるU_xが存在しない
⇔
((E∪F)^a)^i=φ
よって
E∪Fは疎な集合である。
「疎な集合」って初めて聞いたんですけど、出題者の造語ですか?
この回答への補足
「疎な集合」って初めて聞いたんですけど、出題者の造語ですか?について
これは岩波 位相解析の基礎 1960年初版発行に載っていた用語です。
古いけど歯ごたえと味わいがあります。
E^a)^i=φかつ(F^a)^i=φであるから
∀xで、U_x⊂E^aとなるU_xと、U'_x⊂F^aとなるU'_xが存在しない
⇒
∀xで、U_x⊂(E^a∪F^a)となるU_xが存在しない
ここのところが論理的にすっと入ってこないのですが。
どうもありがとう。
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