数学の問題です！

曲線y=e^xの0≦x≦3に対応する部分をy軸のまわりに回転してできる容器がある。これに毎秒a秒の割合で上から水を注ぐ。

(1)この容器に水がいっぱいになるには何秒後か。

(2)この水面の上昇速度が毎秒a/4πになった瞬間の水深を求めよ。


よろしくお願いします＞＜

No.2 ベストアンサー 回答者： okormazd 回答日時： 2011/07/19 12:02

#1さんが、つまらないので、「力尽き」たといった、「機械的作業」をします。

「毎秒a秒」→「毎秒a」か？

y=e^x
で、
dy/dx=e^x
dy=e^x・dx

y=e^xの0≦x≦3を回転させるから、
x=0で、y=0
x=3で、y=e^3
だから、
この回転体の体積をVとすれば、(部分積分2回)

V=∫(0→e^3)πx^2dy=π∫(0→3)x^2・e^x・dx
=π([x^2e^x](0→3)-∫(0→3)2xe^x・dx)
=π(9e^3-2([xe^x](0→3)-∫(0→3)e^x・dx))
=π(9e^3-2(3e^3-e^3))=5πe^3

(1)　
t=5πe^3/a

(2)
水面の上昇速度=注水量/断面積
です。

断面積Sは、

S=πx^2

だから、
水面の上昇速度vは、

v=a/S=a/(πx^2)

これが、a/(4π)になるということだから、

a/(πx^2)=a/(4π)

で、

x=2 (x<0はない)

深さは、y=e^x=e^2

ということになる。

間違いがあるかもしれないので、確認計算してください。

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2011/07/19 02:51

こんにちは。

０≦ｘ≦３　のとき　１≦ｙ≦ｅ^3

ｘ　＝　logｙ
ｄｘ／ｄｙ　＝　１／ｙ　＝　１／ｅ^x
よって、ｄｙ　＝　ｅ^xｄｘ

容器の体積は、
∫[y=1⇒e^3]π（logｙ）^2 ｄｙ　＝　∫[x=0⇒3]πｘ^2・ｅ^xｄｘ

たぶん、部分積分ですかね。

ここで力尽きました。