完全順列の総数について

1、2、3…、nのn個の数字の完全順列は、1番目が2の場合がa通りあれば、1番目が3、4…、nの場合もそれぞれa通りあるのでしょうか？
参考書の問題ではすべてそうなのですが、nがどんな数字でもそうなるのか疑問に思いました。
よろしくお願いします。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2011/08/18 12:15

n個の順列のうち先頭の数字を決めてしまうと、

残りの数字の組み合わせは (n-1)個の順列の数です。

つまり

a = (n-1)個の順列の数 = (n-1)P(n-1)

例えば n=4 で先頭が 2 なら

2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431 で　6通り=3!=3P3 です。

この回答へのお礼

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回答ありがとうございました。

お礼日時：2011/10/15 17:59

No.1 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2011/08/17 14:29

こんにちわ。

それぞれの場合で、aとおりになります。

もしかすると、一般化してしまった方がわかりやすいのかもしれませんね。

2～nの中で kという数が選ばれたとすると、
残っている数は「1, 2, ・・・, k-1, k+1, ・・・, n」の n-1個の数であり、
並べる順序の方は、「2番目, 3番目, ・・・, k番目, ・・・, n番目」となっています。

これはどの kに対しても「同様に言える」ことです。
ですので、2の場合が aとおりであれば、他の数の場合も aとおりであると言えます。


完全順列の漸化式を求めるような問題で、
「1番目が 2の場合は aとおりだから、それを n-1倍して・・・」という示し方もあるでしょうが、
上のように一般化してしまって、「k番目」という表現で示す方法もあります。
過去にその形式での質問もあったので、参考として挙げておきます。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/5416681.html

参考URL：http://oshiete.goo.ne.jp/qa/5416681.html

この回答へのお礼

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お礼日時：2011/10/15 17:58