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高校数学のある命題についてです。
a,b が整数であるとき、以下の命題があります。
・命題:
a*b が奇数のとき、aまたはbのどちらか一つが奇数である。
このとき、命題について対偶を考えます。
まず、「a*bが奇数である」 の否定は 「a*bが偶数である」
また、「aまたはbのどちらか一つが奇数」の否定は
「aが奇数 または bが奇数」の否定なので、ド・モルガンの法則より
「aが偶数 かつ bが偶数」、つまり「a,bの両方が偶数」
となり、本命題についての対偶は以下の様になると考えました。
・対偶:
a,bの両方が偶数のとき、a*bは偶数となる。
この命題の対偶は真となりますが、命題は疑となると思います。
一般的に命題とその待遇の真偽は一致するはずなので、
何かが間違えているのではないかと思っています。
(1) 命題は真?
(2) 対偶のとり方が間違えている?
(3) 対偶は真ではない?
(4) 命題と対偶の真偽は一致しない?
大変困っております。どなたか教えて下さい。お願いいたします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
はい, 「どちらか一つ」が「少なくとも一方」という意味なら, 元の命題
a*b が奇数のとき、aまたはbのどちらか一つが奇数である。
は真です.
ただ, #1 でも書いておいたけど「どちらか一つ」という書き方では「どちらか 1つだけ」つまり「一方が奇数で他方は偶数」と解釈しても仕方ないと思います. 端的に言えば書き方が悪い.
No.1
- 回答日時:
元の命題における「どちらか一つ」というのは「正確に 1つだけ」という意味ですか? もしそうなら (2). 「少なくとも 1つ」の意
味なら (1).ありがとうございます。
すいません。補足で命題は疑になるのでは?
と申しましたが、
命題は真ですよね。
abが奇数ならばa,bの少なくとも1つは奇数。
命題の「abが奇数」は「a,bの少なくとも1つは奇数」の十分条件ですね。
勘違いしておりました。
大変ありがとうございました。
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