磁気モーメントの歳差運動～時間推進演算子

z方向に一定の磁場Bが印加されているとき、ハミルトニアンを
H=-γhBSzとする
hはプランク定数/2πのこと、Szはスピン角運動量演算子のz成分
このとき、Sを時間に依存する演算子とする。

(1)時刻tにおけるスピン状態|t>は初期状態|0>に時間推進演算子を作用させることで得られる、この|t>を用いてSx（スピン角運動量演算子のx成分）の期待値の時間変化<Sx>を求めよ。t=0のとき<Sx>=0
ただし次の関係式を用いてよい
exp(-iθSz)　Sx　exp(iθSz)　=　Sxcosθ　+　Sy　sinθ

※自分でやった結果<Sx>=<Sy(t=0)>sinγBtになりましたが、問題ではhttp://oshiete.goo.ne.jp/qa/6956575.htmlの結果と一致することになるといっていますが、上記のURLの質問の方法だと、角周波数はγhBになってしまいます。

No.2 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2011/08/21 20:43

これは前の質問の補足に書いて欲しかった。

このような場合もあるとは思っていたのだが書かなかったことがある。

この問題の場合、Sx,Sy,Szの交換関係はどのように定義されているだろうか。
一般には
[Sx,Sy]=ihSz
と定義してあるだろうが、今回の問題の場合は違う。
[Sx,Sy]=iSz
と定義してある。つまり、Sx,Sy,Szをhで割って無次元量にしてあるのだ。
これなら前の問題でも周期はγBとなる。

なぜこんなことがわかるのか。
それは
exp(-iθSz)　Sx　exp(iθSz)　=　Sxcosθ　+　Sy　sinθ
この式。
実際にこの式を計算してみれば[Sz,Sx]=ihSyとするとhが出てこないおかしいのだが出てきていない。つまり、この交換関係にhを含まないようにしてあるということだ。
多分、問題のどこかでスピン角運動量の交換関係について言及されているとは思うのだが。

この回答へのお礼

補足しようかと思いましたが、新たに質問しました。ありがとうございます。問題では、直接スピン演算子は無次元の量と言及していなかったのですが、初めにハミルトニアンを求める際に、磁気モーメントをμ=γhSと定義していました。おそらくこれが暗にSが無次元の量示唆してたのかなと思います。磁気モーメントもスピン演算子の次元についての発想が全くできなかったからだと思います。これで問題は解決できました。

お礼日時：2011/08/21 22:39

No.1 回答者： noname#154783 回答日時： 2011/08/21 20:43

以下，hはすべて「プランク定数を2πで割ったもの」を表します．

> ただし次の関係式を用いてよい
> exp(-iθSz)　Sx　exp(iθSz)　=　Sxcosθ　+　Sy　sinθ

とありますが，もしSzとかSxとかSyが，hと同じ次元をもつスピン角運動量演算子なのでしたら，上の関係式は

exp(-i θ Sz/h) Sx exp(-i θ Sz/h) = Sx cos θ + Sy sin θ

という形になると思います．そうじゃないということは，問題文に出てくるSzとかSxとかSyは
「スピン角運動量演算子をhで割り算して無次元化したもの」
ということになります．

こう考えれば，角周波数はγ Bとなるのが正しいわけで，前にご質問されていた
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6956575.html
においてはハイゼンベルクの運動方程式を立てるとき，Sx，Sy，Szが満たすべき交換関係として（[Sx,Sy] = i h Szなどではなく）

[Sx,Sy] = i Sz　（hがない）

などの交換関係を用いるべきであったということになります．

hがない形の交換関係を用いてハイゼンベルクの運動方程式を立てれば前のご質問における「hがじゃま」という問題も解決するんじゃないでしょうか．

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。おっしゃる通り問題に
「スピン角運動量演算子をhで割り算して無次元化したもの」
とあれば、交換関係にhが付かないと自信持って判断できましたが、問題では言及していなかったので、気づけませんでした。exp(-iθSz)　Sx　exp(iθSz)　=　Sxcosθ　+　Sy　sinθの関係式から気づければよかったのですが、問題の順序的に初めの質問の方が最初でしたので磁気モーメントをμ=γhSと定義している点で気づくべきでした。

お礼日時：2011/08/21 22:44