No.3ベストアンサー
- 回答日時:
積分を使わない解法です。
ご質問の円の図はx軸に対称なので、真ん中の部分の面積が円全体の半分であれば、
円のうちy=kより上の部分の面積は円全体面積πr^2の4分の1、つまり(πr^2)/4 になります。
添付した図の角をθ(ラジアン)としますと、円のうちy=kより上の部分の面積は
扇形の面積から二等辺三角形OABの面積を引いたものです。
(図は簡単にするためr=1の場合です)
扇形の面積は円の面積×扇型の中心角/2π
二等辺三角形OABの面積は(1/2)×半径^2×sin(頂角) なので
πr^2×θ/2π-(1/2)r^2×sinθ=(πr^2)/4 が成り立ちます。
両辺をr^2で割って2倍し整理しますと
θ-sinθ=π/2
この方程式は見かけは簡単ですが解くのは簡単ではなく、
ご質問の通り、最終的にk=…というきれいな形にはなりません。
エクセルのゴールシーク機能を使って近似解を求めますと
θ≒2.3095 となりました。
さらに逐次近似法で計算しますと
θ≒2.30988 になりました。 (円周:360度=2π よりθは264.69度くらい)
求めるy=k の式で kの値はk=rcos(θ/2) なので
求める2直線は y≒±0.404r くらいです。
シンプルな公式で説明されていて非常にわかりやすいです。
また具体的にθの近似解からkの値まで導いていただき、助かりました。
お陰様で期限にも間に合いました。
丁寧かつ迅速にご回答いただき、ありがとうございました。
No.2
- 回答日時:
質問者は積分、三角関数、三角関数の積分がわかりますか。
解らないものがあれば残念ながら答えは得られません。
また、答えはk=f(r)という形には書けません。
sinα=k/r
を満たす角αを用いるとαは
sinαcosα+α=π/4
を満たす角ということです。
もう何年も前に習ったため大分忘れてしまっていると思います。
k=f(r)の形では表せないのですね。
それがわかっただけでも助かりました。
ありがとうございました。
早速アドバイスいただきありがとうございます。。☆
第1象限のみを考えて積分し、
1/2・r^2・arc sin(k/r)+ 1/4・sin(2・arc sin(k/r)) = 1/8・πr^2
(第1象限でx軸とk軸に挟まれた部分が、円の面積の1/8になる)
という式を導きました。
しかしこの式から「k = ~」という答えを得る方法がわからず止まっています。
もし導き方がわかりましたら、教えていただけると助かります。
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