面積1の三角形ABCの各辺の長さをそれぞれＡＢ=2,ＢC=a,ＣＡ=bとする。さらに、Ｃから直線ＡＢ

面積1の三角形ABCの各辺の長さをそれぞれＡＢ=2,ＢC=a,ＣＡ=bとする。さらに、Ｃから直線ＡＢへ下ろした垂線の足Ｄが線分ＡＢ上にあるとする。
このとき、
①ＡＤ=xとするときa×a+(2√3-1)b×bをxを用いて表せ。
②a×a+(2√3-1)b×bを最小にするxを求めよ。また、そのときの角ＢＡＣの大きさを求めよ。

質問者からの補足コメント

• 正弦定理・余弦定理を使った解き方はありますか？

    補足日時：2017/07/25 16:07

No.1 ベストアンサー 回答者： deutschgoo 回答日時： 2017/07/25 00:04

＾2は２乗のことです。

(1)
△ABCの面積をS1,△ADCの面積をS2とすると
S1:S2=AB:AD
S1=1,AB=2,AD=xより、
S2=x/2
よって、(S2)＾2=x＾2/4…①
また、三平方の定理から
CD＾2=b＾2-x＾2
であり、
S2=(1/2)AD･CDより、
(S2)＾2=(1/4)･x＾2･(b＾2-x＾2)…②
とも書ける。
①,②より、
x＾2/4=(1/4)･x＾2･(b＾2-x＾2)
両辺をx＾2/4で割ると
1=b＾2-x＾2
よって
b＾2=x＾2+1
同様に、DB=2-xであるから、
△BDCの面積をS3とおくと
(S3)＾2=(2-x)＾2/4
かつ、
(S3)＾2=｛(2-x)＾2/4｝･｛a＾2-(2-x)＾2｝
よって
a＾2=(2-x)＾2+1=x＾2-4x+5
よって、
a＾2+(2√3-1)b＾2
=2√3x＾2-4x+2√3+4
(2)
f(x)=2√3x＾2-4x+2√3+4とおくと
f(x)=2√3｛x-(1/√3)｝＾2+(4√3/3)+4
これは下に凸の二次関数。
よって、x=1/√3のとき、最小値(4√3/3)+4
をとる。
こんなんでどうでしょう。
勉強頑張ってくださいね。