（算数）面積の問題

辺の長さが(仮に)１の正方形に内接する円と、正方形の辺を半径とする扇形で区切られた三日月の面積は？

昔、学生の頃、研究室で誰かが「中学の入試問題」との触れ込みで持ってきた問題です。
算数では誰も解けませんでした。ｇｏｏなら誰かわかると思い質問します。

No.7 ベストアンサー 回答者： puni2 回答日時： 2003/11/20 01:23

ところで，解き方も書いたほうがいいでしょうか？

それとも，算数の範囲で解く方法でなければ必要ありませんか？

ちなみに，回答No.3は「三日月の両端にひっついてるふたつの小さな三角」（No.4さんの表現をお借りしました）を引くのを忘れています。
つまり，No.4で「ひょっとして…」とおっしゃった，小学生でも解けるバージョンのほうの答えになっています。

また，回答No.5は，最後の部分「Ｓ＝Ｓ１－Ｓ２ー４×Ｓ４」が間違いです。
Πはπのつもり（円周率のパイは小文字。大文字だと積を表す），「対象性」は「対称性」の変換ミス，上の式で最後のS4はS6の打ち間違いだとしても，
4つの「小さな三角」は全て同じ形ではありません。
4つのうち2つは，「三辺」が「大きな正方形の一辺」「大きな正方形の対角線」「大きな円の弧」のそれぞれ一部からなっており，その面積は確かにS6です。（厳密には曲線が含まれるので，「三辺」にはカギカッコをつけました）
しかし，残り2つの三角形の「三辺」は，「大きな正方形の一辺」「大きな円の弧」「小さな円の弧」の一部からなっています。
これが，「三日月の両端にひっついてるふたつの小さな三角」になります。
この部分の面積は，S6よりかなり小さいです（定規とコンパスで正確に描いてみるとすぐ分かる）。

No.8 回答者： azumi-openheart 回答日時： 2003/11/28 02:26

辺の長さが(仮に)１の正方形に「外」接する円と、正方形の辺を半径とする扇形で区切られた三日月の面積は？

だったら、簡単なのにねぇなんて思ったあずみでありました。

…わたしにはわかんないな。

No.6 回答者： puni2 回答日時： 2003/11/17 22:32

こんにちは。

続きです。
いずれも算数だけで解いたわけではないのですが，とりあえず解いた結果だけを書いておきます。

解法０　まず，答えの値の見当をつけるため，方眼紙に，一辺10cmの正方形を書いて，マス目の数を数えてみたところ，0.1458となりました。

解法１　積分だけで解いた場合
－(3/8)π＋(√7)/8－(1/4)arcsin(1/(2√2))＋arcsin((5√2)/8))

解法２　ある程度，初等幾何的アプローチも使った場合
(1/4)－(π/16)
＋25{1－tan(arcsin(5/(4√2))－π/4)}×{1＋sin(arcsin(1/(2√2))＋π/4)}
＋arcsin(5/(4√2))－π/4＋1/4－(arcsin(1/(2√2)))/4－π/16

解法１・２とも，関数電卓を用いて計算すると，
0.14638125953034…
となりました。
さきほどの解法０も，まあ誤差の範囲で一致しているといっていいでしょうかね。

No.4：
>もし中学入試問題だとすると、ひょっとして「両端の三角も含めた形態の面積」を求める問題では
>なかったのかな…と思ったり…

ああ，それならあり得るかも。
中学入試としては，そんなに極端には難しくない，ほどほどの問題といえそうです。
相似を知っている生徒なら，
（正方形－扇形）×(3/4)
で出ますね。

No.5 回答者： KENZOU 回答日時： 2003/11/17 13:16

1辺の長さがａの正方形とします。

その面積をＳ１とすると
　Ｓ1＝ａ^2　　(1)
次に半径ａの円の1/4の面積をＳ２とすると
　Ｓ２＝(1/4)Πａ^2　　(2)
ここで
　Ｓ３＝Ｓ１－Ｓ２　(3)
とすると求める三日月の面積はＳ３に含まれます。
正方形を４分割した小さい正方形を対角２分割し、その三角形の面積をＳ４とすると
　Ｓ４＝(1/2)（ａ/2)^2＝(1/8)ａ^2　(4)
そこに含まれる扇型の面積をＳ５とすると
　Ｓ５＝（1/8)Π(ａ/2)^2＝(1/32)Πａ^2　　(5)
そこで三角形の面積から扇型の面積を引いたものをＳ６とすると
　Ｓ６＝Ｓ４－Ｓ５＝(1/8)ａ^2(1－Π/4)　　(6)
図形の対象性を利用し、求める面積をＳとすると
　Ｓ＝Ｓ１－Ｓ２ー４×Ｓ４
　　＝ａ^2－(Π/4)ａ^2－4×(1/8)ａ^2(1－Π/4)
　　＝(1/2)ａ^2(1－Π/4)　(7)
いま、ａ＝1と置くと
　Ｓ＝0.1075　(Π＝3.14)　(8)
となりました。しかし、なにか見落とししているような、、、

No.4 回答者： noname#5745 回答日時： 2003/11/17 11:13

こんにちは。

昨日、5時間くらい悩んじゃいました…（＾＾；
できませんねぇ…どうしても、三日月の両端にひっついてるふたつの小さな三角（2辺は円弧の一部）の面積が出せません…
これさえ出せれば…と、あれこれやってみるのですが…ものすごく簡単にできそうなのに…
＃2の方のご回答を読んで、もし積分でしか解けないのなら、かえってすっきりするわい…と思いました…お手上げです（＾＾；

もし中学入試問題だとすると、ひょっとして「両端の三角も含めた形態の面積」を求める問題ではなかったのかな…と思ったり…

No.3 回答者： hakkoichiu 回答日時： 2003/11/17 09:38

凡人が我流でやってみました。

正方形の辺を１の代りに”ｒ”と置いて, 円周率を"py"として計算すると(二乗はrrのように文字を重ねました。）、

[〔４rr - py.rr) - (rr - py.rr/4)]/4
= rr(3 - 3py/4)/4
= 3rr(1 - py/4)/4
　－－－－－－－－

命題のように"r"に１を代入すると

３rr(1 - py/4)/4 = 0.16125
　　　　　　　　　　ーーーー

こんな簡単に答が出る問題ではないでしょうね。

質問者さんに回答者が尋ねるのもおかしな話ですが、締切前に正解をご教示戴ければ幸甚です。　

No.2 回答者： puni2 回答日時： 2003/11/17 03:33

正方形をABCDとすると，「正方形の内接円の内側にあって，かつ，点Aを中心とする扇形ABD（たとえば）の弧BDの外側にある部分」の面積，ということですね？

もう20年以上も前ですが，ある女子高の文化祭にいったところ，数学部がレベル別（小学生向きとか中学生向きなど）にいろいろな問題ののったプリントを配っていて，全問正解者は名前を張り出す，という企画をやっていました。
その中で，一般向け（つまりレベルが一番上）のプリントの最後に，採点対象外の問題が一つあり，「どなたか解いてください」と書かれていたのがこれでした。つまり部員にも解けなかったということです。
さっそく，大学に持って行って，数学（解析学演習）の先生に見せたところ，次回の授業でこれが取り上げられ，みんなで考えることになりました。

結局，答えまで到達できた方法は，２つでした。
ひとつは，上の例でいうとAを原点，Cを(1,0)，つまり対角線をx軸として，積分を使う方法でした。
もうひとつは，ある程度，初等幾何的に各部分の面積を求めながらアプローチして行きますが，最終的には積分せざるを得ませんでした。

その時の結論としては，出てきた回答の複雑さ（解析的に書くと逆三角関数を含む式になってしまう）からみても，高校までの数学（まして算数）の範囲で解くことはできないだろう，ということになったのですが…

本当に中学の入試問題だったのでしょうか？
もしそうだとしたら，どういう解き方を求めていたのでしょうか。（方眼紙に描いてマス目を数えさせるとか？）
算数で解けるのなら，ぜひ知りたいです。

当時のノートが勤務先にありますので，あと1日～2日程度締め切らずにおいていただければ，もう少し補足説明できると思います。

No.1 回答者： dango-gogo 回答日時： 2003/11/16 13:06

例題が「仮に１辺1cm」ですが「1cm」は計算しにくいので

正方形の１辺を「4cm」として説明します。

4の正方形に内接する円は直径が4cmなので半径は「2cm」
半径×半径×3.14（2×2×3.14）→25.12cm
4を半径とする円の面積の1/4は
4×4×3.14÷4→12.56cm 1辺4cmの四角から12.56を
引くと　16-12.56→三角形の面積　3.44

でもこれはあまりにも簡単ですよね
解けない筈のものではありません…私の問題自体の
解釈違いかも…と考えました

正方形を内接するのではなく、正方形に内接する円の場合は、外側にもう一つ円を内接する正方形を書いて
二つの正方形（倍の関係）を使用して解きます

ちょっと思考を使いまわさないと、難しいです

私が説明するより、こちらのサイトの【面積】の中の
「円の応用」の「円と正方形」方が　わかりやすいです

参考URL：http://www.morinogakko.com/classroom/sansu/Mense …

この回答への補足

ありがとうございます
このサイト見たのですが、似てますが流用できません

一辺ａ（仮に）の正方形に内接する円の面積と
この一辺を半径とする正方形の中の扇形の面積が等しいことからやったりとったりいろいろやっても、
できないのです
図形としては、単純な形なのですが・・・

教えてｇｏｏなのです

補足日時：2003/11/16 17:53