弓形の高さ

半径ｒと面積Aが既知のとき弓形の高さの求め方を教えてください。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2011/10/25 14:19

A No.1 の記号で、

A = 扇形の面積 - 二等辺三角形の面積
= (r^2)(θ/2) - (r sin(θ/2))(r cos(θ/2))
= (1/2)(r^2)(θ - sinθ). ←[1]
h = 半径 - 二等辺三角形の高さ
= r - r cos(θ/2).
です。

方程式 [1] を解いて h の値を求めればよいのですが、
[1] から θ を消去して h の方程式にすると
逆三角関数が式に入ることになるので、容易には解けません。

解析解は無理で、数値算法で近似値を出すしかなかろう
と思います。
[1] をニュートン法で解いて、一旦 θ を求めるのが
よろしいかと。

No.1 回答者： ZET235711 回答日時： 2011/10/24 20:24

求める高さをhとします．

扇形の面積Ａ－（2辺の長さがともにrの二等辺三角形の面積）
弧の両端を結ぶ線分の長さをc，
扇形の角度をθとします．

Ａ＝(1/2){ rl - c(r-h) }

c = 2√｛h(2r-h)｝
c^2 = 4h^2(2r-h^2)

r = (c^2 + 4h^2)/(8h)

l=rθより，
θ＝l/r
また，
Ａ＝πr^2(2π/θ)
θ＝２π^2/A
よって，
l/r=2π^2/A
l={2(π^2) r}/A

2A = r{2(π^2) r/A} - c(r - h)
h +r = 2A - r{2(π^2) r/A}/c
h = 2A - r{2(π^2) r/A}/c - r

三角形の面積＝r*(rsinθ)/2　．．．(1)
余弦定理より，
c^2 = r^2 + r^2 -2(r^2)cosθ
c^2 = r^2(1-2cosθ)　．．．(2)
三角形の面積＝c*(r-h)/2 ．．．(3)

(1)＝(3)より，
{(r^2)sinθ}^2= {c*(r-h)}^2
r^4 sinθ^2 = c^2 (r^2 -2rh +h^2)
r^4 sinθ^2＝r^2(1-2cosθ)(r^2 -2rh +h^2)
r^2sinθ^2 = (1-2cosθ)(r^2-2rh+h^2)
r^2(1-cosθ^2)=(1-2cosθ)(r-h)^2
r^2cosθ^2 -2(r-h)^2cosθ-r^2+(r-h)^2=0
r^2cosθ^2 -2(r-h)^2cosθ+h^2 -2rh = 0
cosθ={(r-h)^2±√(r-h)^4-r^2(h^2 -2rh)}/r^2　．．．(4)

2A = r{2(π^2) r/A} - c(r - h)　．．．(5)
(2)，(4)，(5)より，
hが出ます．
気の遠くなるような計算式になるので，ここで止めます．
もっと簡単に出せる方法もあるのでしょうが，思い付きません．