大学の微分積分 ヤコビアンについて

ｘ＝ｒsinθcoｓβ、　ｙ＝ｒsinθsinβ、　z=rcosθのとき　jacobian δ（ｘ、ｙ、ｚ）/δ（ｒ、θ、β）を求めよ
一部ギリシャ文字がよめませんでした・・・
δは偏微分の意味を表しています　　

解説付きでお願いします!　

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2011/11/07 19:07

"Jacobian" は、ヤコビ行列 ∂(x,y,z)/∂(r,θ,β) でも、

「ヤコビ行列式の絶対値」でもなく、
ヤコビ行列式 | ∂(x,y,z)/∂(r,θ,β) | のことだとだと思うがな。
普通に、偏微分して行列式を計算したらえんちゃうの？

何すりゃいいか解からんなら、本で "Jacobian" の定義を確認。
知ってるがめんどいという話なら、根性出さなあかん。

No.3 回答者： Ae610 回答日時： 2011/11/06 16:34

一つ聞きたいのだが・・・、

教科書とか持ってないの・・？？
それから、数学の記号は慣用に従った方が良いと思う・・・！
（偏微分記号は'∂'が一般的に使われているので、やたら勝手に違う記号を使うと誤解が生じるし、自分で書いていて分からなくなる場合もあり得ると思う！　δを'変分'記号として使うのならば許せるが・・・！）

・・・んで本題！
微積分の大抵（殆どかも知れない！）の教科書(或いは参考書)にはヤコビアンの説明くらいしてあると思うのだが！！
ネットが使える環境ならば、「ヤコビアン」で検索すれば計算の仕方くらい直ぐに調べられるのではないか・・！？

解説付きで人にお願いをする前に"自分で努力しよう"・・・という気は起こらないのか・・？？

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2011/11/06 16:34

>一部ギリシャ文字がよめませんでした・・・

βで代用されている極座標の角度の記号「φ」（この筆記体の異字体文字もある。参考URLのなかに使われている）は「ファイ」と呼びます。
>δは偏微分の意味を表しています　
偏微分記号「∂」は「でる」変換で出てきます。あるいは「数学」で出てくる記号から「∂」を選びます。

解法１
参考URLの方法(1)の方法
>x=ｒsinθcosφ,y=ｒsinθsinφ,z=rcosφ
ヤコビアン|J(r,θ,φ)|
ヤコビ(アン)行列
J(r,θ,φ)=∂(x,y,z)/∂(r,θ,φ)
=
(∂x/∂r,∂x/∂θ,∂x/∂φ)
(∂y/∂r,∂y/∂θ,∂y/∂φ)
(∂z/∂r,∂z/∂θ,∂z/∂φ)
=
(sinθcosφ,rcosθcosφ,-rsinθsinφ)
(sinθsinφ,ｒcosθsinφ,rsinθcosφ)
(cosφ,0,-rsinφ)
ヤコビアン（ヤコビ行列式の絶対値）
|J(r,θ,φ)|=|∂(x,y,z)/∂(r,θ,φ)|
=(
|sinθcosφ,rcosθcosφ,-rsinθsinφ|
|sinθsinφ,ｒcosθsinφ,rsinθcosφ|
|cosφ,0,-rsinφ|
)の絶対値
=r^2sinθ
と得られます。

しかし、参考URLの方法(2)のように図的に求めた方がずっと簡単です。

参考URL：http://homepage3.nifty.com/rikei-index01/biseki/ …

No.1 回答者： Knotopolog 回答日時： 2011/11/06 16:32

ｘ＝ｒsinθcoｓβ、　ｙ＝ｒsinθsinβ、　z＝rcosθ

で与えられているので，ヤコビアンの各要素は，


∂x/∂r＝sinθ coｓβ

∂y/∂r＝sinθ sinβ

∂z/∂r＝cosθ


∂x/∂θ＝ｒcoｓθ coｓβ

∂y/∂θ＝ｒcoｓθ sinβ

∂z/∂θ＝－ｒsinθ


∂x/∂β＝－ｒsinθsinβ

∂y/∂β＝ｒsinθcoｓβ

∂z/∂β＝0


となりますから，あとは，ヤコビアン（jacobian）∂(ｘ, ｙ, ｚ)/∂(ｒ, θ, β)の定義通り（行列式）に並べるだけです．

（これは，なにやら球座標の変換式ではないのか？）