数学II、多項式の割り算のあまり

多項式Ｐ(x)を(x-1)の2乗で割ると、4x-5余り、
(x+2)で割ると、-4余る。

Ｐ(x)を(x-1)、(x-1)(x+2)、(x+2)(x-1)の２乗
のそれぞれで割ったときの余りを求めなさい。

という問題です。
どなたか、解説＆解答願います。

No.1 回答者： syoyaku072 回答日時： 2011/12/27 01:25

１１を３²で割ると２余り、５でわると１余る。

このように自分で数値を適当に置き換えて、公式を作ればいい。

この回答への補足

おっしゃる通り、自分で公式を質問する前から作っていました。
ただ、問題は公式を作ってからが分からないのです。

補足日時：2011/12/27 01:50

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/12/27 03:19

それぞれで割ったときの余りを適切に仮定して, 「与えられた条件にあてはまる」ということを表す式をたてる.

とはいえ, x-1 で割った余りがわからないってのはちょっと.... 整数におきかえると
25 を 3^2 で割った余りは 7 である. 25 を 3 で割った余りはいくらか
というのとほぼ同レベルなので, さくっと答えてほしい.

No.3 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2011/12/27 13:29

高2のこの時期なら、微分は習ってるだろう。

関数：f(x)が(x-a)＾2で割り切れるなら、f(a)＝f´(a)＝0　が成立する。この証明が分からなければ検索したら良い。
他にも方法があるが、微分が分かりやすいだろう。

＞Ｐ(x)を(x+2)*(x-1)＾2　で割ったときの余りを求めなさい　

これが一番面倒だろうから、これを解いとく。

Ｐ(x)＝(x-1)＾2*Ａ(x)＋4x-5＝(x-1)＾2*Ｂ(x)-4　とする。
(x+2)*(x-1)＾2で割った余りは、2次た゛から　ax＾2+bx+cと置ける。
従って、Ｐ(x)＝(x+2)*(x-1)＾2*Ｃ(x)＋ax＾2+bx+c　であるから、f(x)＝Ｐ(x)-(ax＾2+bx+c)＝(x+2)*(x-1)＾2*Ｃ(x)である。これは、(x+2)*(x-1)＾2　で割り切れる事を示している。
つまり、f(1)＝f(-2)＝f´(1)＝0が成立する。
f(1)＝Ｐ(1)-(a+b+c)＝-1-(a+b+c)＝0　‥‥(1)、f(-2)＝Ｐ(-2)-(a+b+c)＝-4-(4a-2b+c)＝0　‥‥(2)。
f´(1)＝0から、f´(1)＝Ｐ´(1)-(2a+b)＝4-(2a+b)＝0‥‥(3)。何故なら、Ｐ´(1)＝4.

(注)Ｐ(x)＝(x-1)＾2*Ａ(x)＋4x-5＝(x-1)＾2*Ｂ(x)-4　の両辺を微分すると分かるだろう。

(1)～(3)を連立すると　(a、b、c)＝(1、2、-4)だから、求める余りは　x＾2+2x-4.

No.4 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2011/12/27 14:46

多項式Ｐ(x)を(x-1)^2で割った商をさらに(x+2)で割るとどうなるかを考えれば分かりやすいでしょう。

１次式で割った余りは定数項ですから、それをaとすると、
Ｐ(x)=(x-1)^2{(x+2)Ｑ(x)+a}+4x-5
=(x+2)(x-1)^2Ｑ(x)+ax^2-(2a-4)x+a-5

aが分かれば、(x+2)(x-1)^2で割った余りが分かります。

aは、Ｐ(-2)=-4 から分かります。