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中学生の頃、数学の授業の時
「有理化・・・平方根の分数の分母を整数にすること」
を教わったのですが。その目的を当時の先生から
「小数点で算出する際、誤差を少なくする」
と聞きました。その後、高校の物理の先生は、計算問題で有理化せずに計算しようとして問題集の答えと合わない数値がでるので「この答えは間違っている!」といってましたけど有理化すると問題集の答えと一致するので「有理化したらどうですか」というと「してもしなくても同じはずだ。」と言われました。端数処理の最後の桁の数値の違いなので正に計算誤差かなと思ったんですけどその根拠が自分でもよくわかりませんでした。有理化の目的自体よく分からないので詳しい方がいたら教えてください。

A 回答 (9件)

#8です、再びお邪魔します。



>√を含んだ式は見た目、すっきりした形であれば「表現としての」
>一意性はあまり問われなかったように経験的に感じるのですが。

質問で問われている有理化する目的と、
実際に有理化するか否かの判断基準とは別の問題ではないでしょうか?

電卓登場以来、近似値を手計算で算出する時代ではなくなったので、
現在では有理化する必要性はなくなっています。
むしろ、おっしゃるとおり、簡潔な表現のほうが好まれる傾向にあると思います。
有理化を強制されない限り、有理化するしないは各自の自由裁量で決められるものだと思います。
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この回答へのお礼

すみません。
本当は質問内容が混同される恐れがあるので1/√2と√2/2の話は書きたくなかったんですよ。
i536さんがおっしゃるように「有理化する目的と、実際に有理化するか否かの判断基準とは別の問題」だと思います(ここでいう「実際に」とは試験問題等の解答として小数点で求めなくてもいいケースとして私は考えています。)「見た目」と「計算しやすさ、誤差」の議論をいっしょにすべきではありませんでした。返事として適当ではなかったです。申し訳ない。
ただ中学校までは「有理化する」こととして解答を要求し、高校、大学では全くといっていいほど有理化しなかったので、じゃあ何で有理化を中学の授業の中で取り上げたのかというのがひっかかっているんです。ここで有理化を有効とする誤差論をどなたかご存知でないかと思って質問してみたんです。

お礼日時:2003/12/09 16:31

有理化は、分数の通分と同じ感覚で私はとらえています。



たとえば、ある計算を行って答えが6/30となった場合、
そのままこれで答えとしても全く問題ありません。
しかし、一方、同じ問題を別の計算方法で解いた大勢がいる場合、
答えが2/10、30/150、600/3000・・・と無限にありえます。

上の場合、どれも答えは合っていますので間違いではありませんが、
これだと、お互いの答えを確認しあうとき直ちに比較できなくて不便です。

そこで分数の通分が登場したのだと思っています。
【通分したものを答えとする】を原則とすると、
上の場合、答えは1/5に一意に決まり、お互いに混乱しません。

通分を導入した場合と全く同様のことを
√を含んだ数値に対して行ったものが有理化だと思います。
これだと、答えが一意に決まるはずです。
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この回答へのお礼

こんにちは!
返答ありがとうございます!

 上記の件ですが、私は「通分」と「有理化」は異なると思います。というのは、#4の方も書かれていますがsin45°は一般的には1/√2と書き√2/2とはあまり表現をしないからです。
 √を含んだ式は見た目、すっきりした形であれば「表現としての」一意性はあまり問われなかったように経験的に感じるのですが。

お礼日時:2003/12/09 13:09

「分子を有理化するほうが良いこともある」というお話です。



a x^2 + b x + c =0
という2次方程式の解を計算する話です。(「^2」は2乗の意味です。)二つの解のうち
x1=(-b + √(b^2-4 a c))/(2 a) …(1)
が欲しいとしましょう。
 で、ここではb>0で、しかもbと√(b^2-4 a c)とがごく近い値であると仮定しましょう。

 これをそのまんま電卓で計算すると引き算をするところで「桁落ち」が生じます。
 桁落ちってのは例えばこんな感じです:
- 1.2345677+1.2345678 = 0.0000001
元は有効数字が8桁もあったのに、引き算をしたとたん、有効数字1桁になってしまった。(誤差の何たるかが多少とも分かってるヒトにとっては)これは問題デス。

 桁落ちを回避するには、「分子を有理化する」んです。(1)式の分子を有理化しますと、
x1={(-b + √(b^2-4 a c))(-b - √(b^2-4 a c))}/{(2 a)(-b - √(b^2-4 a c))}
=(b^2-(b^2-4 a c))/{(2 a)(-b - √(b^2-4 a c))}
=(4 a c)/{(2 a)(-b - √(b^2-4 a c))}
= (2 c) / (-b - √(b^2-4 a c)) …(1')
となりますね。
 で、この分母の部分は
-1.2345677 - 1.2345678 = -2.4691355
となって、桁落ちしない。

 なお、bの符号が正・負どっちにもなりうるような計算を大量に行う場合には、
b<0のとき:x1=(-b + √(b^2-4 a c))/(2 a), x2=c/(a x1) …(3)
b>0のとき:x2=(-b - √(b^2-4 a c))/(2 a), x1=c/(a x2) …(4)
とやるのがよくて、(4)式におけるx1の計算は(x2を代入してみれば分かるとおり)上記の(1')そのものになっています。

 有理化は数値計算においては、引き算による桁落ちを避けるため、引き算を足し算に化けさせる、という「目的」を持っているわけです。
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この回答へのお礼

こんにちは!
返答ありがとうございます。
返事が遅れてすみません。
うーん、「桁落ち」大学時代に習ったなあ。
その例題としてstomachmanさんの示されたような例があったような気がします。
これって「有理化」っていうんでしょうか?

お礼日時:2003/12/09 09:50

この説明でいいかどうか自信はないので


詳しくは識者にお任せします。

物理や化学では無理数や分数でなく小数で出すことが
多いのですが、少しこれを考えて見ましょう。

無理数というのは
「小数表示しきることができない数」
「小数が同じ繰り返しなく無限に続く数」
ですからどこかで小数の近似値を取ることになります。

分数を有理化した場合、
分母は近似しなくても良い小数(または整数)
となり分母の誤差は0です
分子には誤差がでますが。

有理化しない場合、分母も分子も誤差の出る小数で
計算するからだと思います。
-----------------------------------------
・・・・が、識者にお聞きしたいことが。
分母、分子に無理数があり、これを小数n桁で
四捨五入してそれぞれ近似して除算する答えと
比べて有理化して答えをn桁で四捨五入する場合、
「必ず誤差が同じか小さい」
ことを証明できますか?
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この回答へのお礼

お礼の投稿が「大変」遅れまして申し訳ありません。

>分母、分子に無理数があり、これを小数n桁で
>四捨五入してそれぞれ近似して除算する答えと
>比べて有理化して答えをn桁で四捨五入する場合、
>「必ず誤差が同じか小さい」

もしかしてこれが解答へのキモかなと思いまして私なりに証明を試みたのですが...すみません、できませんでした。遅れた理由はそういうことです。

誤差論並びに数学の証明に弱い私には如何せん難題過ぎました。アプローチとしてはいいと思います。

ほんとに遅れてスミマセン。

お礼日時:2003/12/09 16:46

誤差を含むものを真の値でわるのと


真の値を誤差を含むものでわるのとでは
最終的に得られる誤差はちがうような気がします。

y=1/xというグラフでx<<1の場合と1<<xの場合では
xの揺らぎに対してyの揺らぎって違いますよね。

だから有理化するのかな?
専門家ではないのでなんともいえませんが....


あと先生のいうことがすべて正しいというのはありえません。
教員免許をもっているからっていい先生かどうかは別だと思います。
いい先生もいるでしょうが、ダメな先生もいるのです。
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この回答へのお礼

>誤差を含むものを真の値でわるのと
>真の値を誤差を含むものでわるのとでは
>最終的に得られる誤差はちがうような気がします。

私も直感的にはそう思います。

>あと先生のいうことがすべて正しいというのはありえません。
>教員免許をもっているからっていい先生かどうかは別だと思います。
>いい先生もいるでしょうが、ダメな先生もいるのです。

昔から「先生」という立場はあまり気にしてません。一人の人間ですから、誤解、知らないこともあると思ってます。

返答ありがとうございました。

お礼日時:2003/12/08 09:24

#1の方と同意見です。



計算誤差もあるでしょうが、1/√2と√2/2のどちらが直観的にわかりやすいでしょうか?

私は後者です。なぜなら、前者は1を1.4142135…で割り算した数であり、後者は1.4142135…を半分にした数です。

無理数で「割る」というのは、どうもイメージが湧きません。

計算機では無理数や循環小数は正確には表現できないので、できれば無理数で割ることはしないほうが良いと思います。

しかし、例えば三角比のsin45°は1/√2 と書いたほうが良いでしょう。
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この回答へのお礼

>直感的に...
>イメージ...

私もそう思います。

>計算機では無理数や循環小数は正確には表現できないの
>で、できれば無理数で割ることはしないほうが良いと思
>います。
ちなみに計算機内で平方根はどのように計算しているのでしょうね。うーん(悩)。

ご返答ありがとうございました!

お礼日時:2003/12/05 12:06

電卓やパソコンが一般人にまで普及している昨今


有理化する意味は全くなくなっています。
シーラカンス教師や時代の遺物のような人がまだいるのでこだわる人も居るのです。
最近では誤差論もさび付いています。
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この回答へのお礼

keyguyさんのように言う方は結構多いです。
気にしすぎかもしれないんですけどね。
誤差論をよく知らない(特に計算機中の誤差の伝播)ので少し勉強してみます。
時代に逆行してるかな。
ご返答ありがとうございました。

お礼日時:2003/12/05 12:14

tsutsu1971さん、こんにちは。


詳しくもないんですが、分母の有理化をする意味は、計算をやりやすくするためだと思います。

下の参考URLには、「分母の有理化の意味は?」というのが載っています。
それによると、分母に無理数(無限小数)があると、計算はすぐにはできないが
有理化することで、無限小数を整数で割る形になり、計算がしやすくなる、とありますね。

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/sugachan1 …

例えば、
√2≒1.414214562
として、

1/√2=1÷1.414214562≒0.707106281
と出ました。
ところが、有理化すると
1/√2=√2/2≒1.414214562÷2=0.70717281
となります。
微妙に有理化しない場合と違いますよね。

これは、tsutsu1971さんが先生に「有理化したらどうですか」と
アドバイスされたとおりです。
先生が答えが間違っている!とおっしゃったのは、おかしいですね。
分母の有理化は、分数のおおよその値を求めるのに、とても有効な方法です。

参考URL:http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/sugachan1 …
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この回答へのお礼

返答ありがとうございます。
√2≒1.414214562ではなくて
√2≒1.414213562です。
小数点第6位が4ではなくて3ですね。
この数値で手計算すると
1/√2も√2/2もこの桁数(9桁)のなかではほぼ同じになります。
1/√2=0.70710678137
√2/2=0.707106781
当時、手計算で有理化が有効(?)になった計算を思い出せればいいんでしょうけど忘れてしまいました。すみません。

お礼日時:2003/12/05 11:36

根拠は「小数点で算出する際、手計算を容易にする」 だと思います。

たとえば
√2/2=1/√2
ですが、前者は約1.4/2で計算が容易ですが、後者は1/1.4で面倒です。暗算や手計算による概算には有理化した方がみやすい。
1/1.4=0.7142…
1.4/2=0.7
正確な値は
√2/2=0.7071…
なので誤差に関しては大して変わりありません。1.41をつかってもそれぞれ真の値からのずれが正負で符号が逆になることをのぞけば、そのずれの大きさはまったく同じぐらいになります。まあ割る数は出来るだけ簡単に、という暗黙のルールなのではないでしょうか。
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この回答へのお礼

私もそう思います。
ただ実際、中学校の授業で扱うわけですからもう少し深い意味があるのかなと思いまして...。
すばやいアドバイスありがとうございました。

お礼日時:2003/12/05 10:48

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