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楕円E:(x/a)^2+(y/b)^2≦1 に関して
面積 ∬_E dxdy を求めるとき、
変数変換 x=ar*cosθ,y=br*sinθ を行うと、楕円 E の r,θ での表示 E' はどのようになるのでしょうか?

gooドクター

A 回答 (3件)

E={(x,y)|(x/a)^2+(y/b)^2≦1}


E'={(r,θ|0≦r≦1,-π≦θ<π}
 または
E'={(r,θ|0≦r≦1,0≦θ<2π}
で良いでしょう。

なお、積分の変数変換でヤコビアン|J|を忘れないようにして下さい。
つまり
dxdy=|J|drdθ=abrdrdθ
∫[E] dxdy=∫[E'] abrdrdθ
 =4ab∫[0,π/2] dθ∫[0,1] rdr
 =2πab[r^2/2](r=1)
=πab
ということです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
理解できました。

お礼日時:2012/01/05 11:08

>表示 E' はどのようになるのでしょうか?



E’は、r^2≦1になると思います。

この回答への補足

確かに、x=ar×cosθ,y=br×sinθ を代入すればそうなりますが、そういうことではありません。
楕円 E を極座標表示したときの r,θ の範囲は、それぞれどのようになりますか?という質問です。

補足日時:2012/01/05 11:20
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つまり、


(x/a)^2+(y/b)^2
という式に
x=ar*cosθ

y=br*sinθ
を代入したらどうなるか、というご質問ですね。

自分でやりなされ。

この回答への補足

すみません、そういうことではありません。
楕円 E を極座標表示したときの r,θ の範囲は、それぞれどのようになりますか?という質問です。

補足日時:2012/01/05 11:18
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