人に聞けない痔の悩み、これでスッキリ >>

ヤコビアンの定義について

解決済

  • 質問者：levino
  • 質問日時：
  • 回答数：3件

今解いている二重積分の問題があるのですが、積分領域が楕円の内部になっています。普通にxとyで積分領域を決めようとするとめちゃくちゃめんどくさくなります。そこでヤコビアンの定義を使ったら楽に解けるんではないかと思っているのですが、使えるんでしょうか？楕円のパラメータは
x＝acosθ
y＝bsinθ
で、aとbで違ってくるので使えないでしょうか？
教えてください！

通報する

この質問への回答は締め切られました。

質問の本文を隠す

A 回答 (3件)

No.3ベストアンサー

  • 回答者： rabbit_cat
  • 回答日時：

楕円の場合は、単純に極座標にしないで、


x=a*r*cosθ
y=b*r*sinθ
と置くとよいと思います。rとθが変数です。
ヤコビアンは、
|J|=(∂x/∂r)(∂y/∂θ)-(∂x/∂θ)(∂y/∂r)
　=acosθ*brcosθ+arsinθ*bsinθ
　=abr
です。

この回答への補足

それでrの範囲を0≦r≦1にしてθを問題で与えられる領域にすればいいんですよね？

補足日時：2005/12/01 03:32
通報する
    • good
    • 4
    • 件
通報する

No.2

  • 回答者： oyaoya65
  • 回答日時：

#1です。


楕円の平面極座標での式を間違えましたので訂正します。
楕円の式の導出する仕方は
(x/a)^2+(y/b)^2=1
に
x=r cosθ,y=r sinθ
を代入して求めます。
楕円の平面極座標での式は次の式となりますね。

r^2{(cosθ/a)^2+(sinθ/b)^2}=1
    • good
    • 0
    • 件
通報する
この回答へのお礼

ありがとうございました！よく分かりました！

通報する
お礼日時：2005/12/17 23:55

No.1

  • 回答者： oyaoya65
  • 回答日時：

ヤコビアンを考えるときは楕円と関係なく、直交座標と平面極座標の関係ですから


x=r cosθ,y=r sinθの関係を使わないといけないですね。
このrは極座標のr座標の変数です。

|J|=(∂x/∂r)(∂y/∂θ)-(∂x/∂θ)(∂y/∂r)
=cosθ(rcosθ)-(-rsinθ)(sinθ)=r
dxdy=|J|drdθ=rdrdθ
ですね。

＞x＝acosθ
＞y＝bsinθ
これは楕円上の点(x,y)が満たす式ですね。
これをヤコビアンの計算に使ってはいけませんね。

つまり、平面極座標での楕円の式が
r^2=x^2+y^2
=a^2cos^2(θ)+b^2sin^2(θ)

つまり、楕円の平面極座標方程式が

r^2 = a^2cos^2(θ)+b^2sin^2(θ)

ということですね。
    • good
    • 0
    • 件
通報する

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう！

Q質問する（無料）

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

関連するQ&A

関連するカテゴリからQ&Aを探す

専門家回答数ランキング

専門家

※過去一週間分の回答数ランキングです。

Q質問する（無料）

他の専門家の回答をチェック

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q楕円の変数変換

楕円E：(x/a)^2+(y/b)^2≦1 に関して
面積 ∬_E dxdy を求めるとき、
変数変換 x=ar*cosθ,y=br*sinθ を行うと、楕円 E の r,θ での表示 E' はどのようになるのでしょうか？

Aベストアンサー

E={(x,y)|(x/a)^2+(y/b)^2≦1}
E'={(r,θ|0≦r≦1,-π≦θ＜π}
　または
E'={(r,θ|0≦r≦1,0≦θ＜2π}
で良いでしょう。

なお、積分の変数変換でヤコビアン|J|を忘れないようにして下さい。
つまり
dxdy=|J|drdθ=abrdrdθ
∫[E] dxdy=∫[E'] abrdrdθ
　=4ab∫[0,π/2] dθ∫[0,1] rdr
　=2πab[r^2/2](r=1)
=πab
ということです。

他の回答も見る

Q3重積分　楕円体での変数変換

3重積分において普通の球座標の変数変換は理解できるのですが
　
D｛　(x,y,z)　| 楕円体　x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2≦1 (a,b,c＞0)　｝

で x=arsinθcosφ,y=brsinθsinφ,z=crcosφと変換しますが
球座標の変換　x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosφにa,b,cがつく理由を教えてください

Aベストアンサー

>x=arsinθcosφ,y=brsinθsinφ,z=crcosφと変換しますが
球座標の変換　x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosφにa,b,cがつく理由を教えてください.。　←間違い。
正しくは
「x=arsinθcosφ,y=brsinθsinφ,z=crcosθと変換しますが
球座標の変換　x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosθにa,b,cがつく理由を教えてください.。」

楕円体だからに決まってるじゃないですか.？

つまり、
積分変数を独立した（直交する座標）変数(r, θ, φ）に変換して、変換後の３重積分を独立した直交座標変数による逐次積分（累次積分）に持ち込むためでしょう。
この場合、積分領域Dは
　x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2≦1にx=arsinθcosφ,y=brsinθsinφ,z=crcosθを代入すると　左辺=r^2となって　楕円体の領域の式が　「r^2≦1」とrだけの簡単な領域の式に変形され、
D'= { (ｒ,　φ, θ) | r^2≦1, 0≦φ＜π, 0≦θ≦π }
　= { (ｒ,　φ, θ) | 0≦r≦1, 0≦φ＜π, 0≦θ≦π }
となります。（結果として煩わしいa,b,cが3重積分の外に括り出せます。)

>x=arsinθcosφ,y=brsinθsinφ,z=crcosφと変換しますが
球座標の変換　x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosφにa,b,cがつく理由を教えてください.。　←間違い。
正しくは
「x=arsinθcosφ,y=brsinθsinφ,z=crcosθと変換しますが
球座標の変換　x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosθにa,b,cがつく理由を教えてください.。」

楕円体だからに決まってるじゃないですか.？

つまり、
積分変数を独立した（直交する座標）変数(r, θ, φ）に変換して、変換後の３重積分を独立した直交座標変数による逐次積分（累次積分）に持ち込むた...続きを読む

他の回答も見る

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x　は、　t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x　を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x　の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

他の回答も見る

Q固有値と固有ベクトル・重解を解に持つ場合の解法

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
Ａ=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
（自分の解法）
まず
与式＝
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
（ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくてこまってます。）

固有値λ1=λ2=-1より、求めるベクトルをx=t[x1,x2]とすると
A=
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
よって
2x1-x2 = 0
4x1-2x2 = 0
この二つは同一方程式より、x1 = 2x2
任意の定数αをもちいてx1 = αとすれば、
x = αt[1,2]

しかし、答えには、
x1 = αt[1,2]
x2 = βt[1,2] + αt[0,-1]

とありました。なぜなでしょう？
参考にしたページなんかを載せてくれるとありがたいです。

ちなみにこんな問題もありました。
A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|

これは固有値がすべて１になる場合です。
これも解法がのってませんでした。

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
Ａ=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
（自分の解法）
まず
与式＝
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
（ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくて...続きを読む

Aベストアンサー

重解であろうがどうであろうが，求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう．

No.1さんと同様，記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか，質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが，
＞とありました。なぜなでしょう？
答えを確かめましたか？
本当にその「解答」があってますか？
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ．

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です．
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n次の正方行列を相手にしてる場合は
n=dim(Im(A-λI))+dim(Ker(A-λI))
=rank(A-λI) + dim(Ker(A-λI))
だから
固有空間の次元
= dim(Ker(A-λI))
= n - rank(A-λI)

したがって，
A=
|1 -1|
|4 -3|
のとき，λ=-1とすれば
A-λI= <<<--- 質問者はここを書き間違えている
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
だから，rank(A-λI)=1
よって，固有空間は1次元
だから，本質的に(1,2)以外に固有ベクトルはないのです．
(0,-1)が固有ベクトルではないことは容易に確認できます．

A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|
の場合も同様．A-λIのランクを計算すれば2だから
固有空間の次元は1で，計算すれば(1,0,1)を固有ベクトルと
すればよいことが分かります．

重解であろうがどうであろうが，求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう．

No.1さんと同様，記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか，質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが，
＞とありました。なぜなでしょう？
答えを確かめましたか？
本当にその「解答」があってますか？
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ．

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です．
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n...続きを読む

他の回答も見る

Q２重積分の変数変換の範囲についてです。

２重積分の変数変換の範囲についてです。

∬f(x,y)dxdy=∬f(φ(u,v),ψ(u,v))|J|dudv
の式を用いて解く問題で、この式の使い方はわかるのですが、u,vの範囲の決め方がよくわかりません。

たとえば、
x=u(1+v),y=v(1+u)
0≦x≦2,0≦y≦x
となっていたら、
0≦u(1+v)≦2,0≦v(1+u)≦u(1+v)
を解けばいいんですよね？

答えでは、v≦u≦2/(1+v),0≦v≦1となっていました。
uの範囲は理解できますが、vの範囲(v≦1の部分が)がどうしてこうなるのかがわかりません。

同様にx=u+v,y=u-v
0≦x≦2,0≦y≦2-x
で
0≦u≦1,-u≦v≦u
のvの範囲(v≦uの部分が)がどうしてこうなるのかわかりません。

教えてください。

Aベストアンサー

>0≦u(1+v)≦2,0≦v(1+u)≦u(1+v)
>を解けばいいんですよね？
その通り。でも

>答えでは、v≦u≦2/(1+v),0≦v≦1となっていました。
は間違い。

uをx軸(横軸)、vをy軸（縦軸）にとって(u,v)の存在領域を図示すれば
積分領域が明確に分かるかと思います。
正解：「v≦u≦2/(1+v),0≦v≦1」及び「(2/u)-1≦v≦u,-2≦u≦-1」

>同様にx=u+v,y=u-v
>0≦x≦2,0≦y≦2-x
>で
>0≦u≦1,-u≦v≦u
>のvの範囲(v≦uの部分が)がどうしてこうなるのかわかりません。
0≦u+v≦2,0≦u-v≦2-u-v
をuv平面に描くと領域が図の斜線の領域になります。式で書けば
0≦u≦1,-u≦v≦u

他の回答も見る

Qヤコビアンとはなんですか？

ヤコビアンとはなんですか？
数学が苦手でなかなか理解できないのでできるだけわかりやすく解説してください。
どうやって出しているのかもできたら教えてください。

Aベストアンサー

例えば、dxdyというものをx、y→r、θのように変数変換したとき、後者は次元が一個落ちる。それを補う際の比率をヤコビアンが与えるという意味かな。

円筒座標ならr、球座標ならr^2sinθといったようになる。
一般の変数変換ときにも成り立つように、偏微分を使った行列式(ヤコビアン)を使ってあらわされるんだよ。

他の回答も見る

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか？

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか？？

Aベストアンサー

まず、全部　積分定数Ｃが抜けています。また、積分の前につけるものは　“インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます　∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx＝Ｆ(x)の時、
(d/dx)Ｆ(x)＝f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a＝a*x^(a-1)になります　…高校数学の数３で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx＝(1/a)*x^a＋Ｃ
→∫x^adx＝{1/(a+1)}*x^(a+1)＋Ｃ
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx＝∫x^(-2)dx
＝{1/(-2+1)}*x^(-2+1)＋Ｃ
＝－x^(-1)＋Ｃ
＝－１／ｘ＋Ｃ

です。

他の回答も見る

Q楕円体の体積は？

長軸をａ、短軸をｂとしたときの楕円体の体積を教えてください。
正確に求めるのは困難だとおもうので、
良い近似値（ここでは正確性より単純性）があれば教えてください。
２ｂ＞ａ＞ｂの範囲です。

また、下記のＵＲＬの回答が納得できないので、
それについても御教授ください。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=11507

宜しくお願いします。

Aベストアンサー

長軸と短軸だけを示されているということは、ここでは楕円体でも
「回転楕円体：楕円形を軸に対して回転してできる立体図形」
を指しているのでしょうか。

(x/a)^2 ＋(y/b)^2＝１，z=0 　　　　　 　　　　　　 （１）

で示される楕円をｘ軸まわり回転させたとき（^2は２乗を示す）その体積をＶとすると

Ｖ＝2π∫y^2dx　=　2π{(b/a）^2}∫ (a^2－x^2)dx=(4/3)πa(b^2)

となります。（積分区間は０≦x≦a）
ｙ軸まわりの回転のときも同様にして、体積=(4/3)π(a^2)bとなります。

（１）で示される楕円をｘ軸まわり回転させたときできる図形の方程式は

(x/a)^2 ＋(y/b)^2＋(z/b)^2＝１ 　　　　　　　　　　（2）

となりこれは半径１の球を，x軸方向にa倍，y軸及びz軸方向にb倍したものと考えられ，容易に体積が求まります。先にnanashisan氏が示しているのがこの方法だと思います。

体積＝（半径１の球の体積）×ａ×b×b＝(4/3)πa(b^2)

更に次式で表される一般の楕円体

(x/a)^2 ＋(y/b)^2＋(z/c)^2＝１ 　　　　　　　　　　 （3）

に対しても同様にして
体積＝（半径１の球の体積）×ａ×b×c＝(4/3)πabc　となります。

ちなみに（１）で表される楕円の面積については，半径１の円をx軸方向にa倍，
y軸方向にb倍したものと考えれば
面積＝（半径１の円の面積）×ａ×b＝abπ　となります。旧課程の高校数学の「代数・幾何」では１次変換とからめてよくこのての問題が扱われていました。

参考になれば幸いです。

長軸と短軸だけを示されているということは、ここでは楕円体でも
「回転楕円体：楕円形を軸に対して回転してできる立体図形」
を指しているのでしょうか。

(x/a)^2 ＋(y/b)^2＝１，z=0 　　　　　 　　　　　　 （１）

で示される楕円をｘ軸まわり回転させたとき（^2は２乗を示す）その体積をＶとすると

Ｖ＝2π∫y^2dx　=　2π{(b/a）^2}∫ (a^2－x^2)dx=(4/3)πa(b^2)

となります。（積分区間は０≦x≦a）
ｙ軸まわりの回転のときも同様にして、体積=(4/3)π(a^2)bとなります。

（１）で示される...続きを読む

他の回答も見る

Qe^(-x^2)の積分

e^(-x^2)の積分はどうやったらよいのでしょうか？
どなたか分かる方、よろしくお願いします。

eは自然対数の底でe^(-x^2)=exp{-x^2}

Aベストアンサー

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの（1/4）円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe＾-x＾2　をｘ方向に積分すると、
∫[0→a]e＾-x＾2dx
正方形の領域だからe＾-y＾2 をｙ方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e＾-x＾2dx=∫[0→a]e＾-y＾2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e＾-(x＾2+y＾2)dxdy
={∫[0→a]e＾-x＾2dx}＾2
という関係が出ますね。
だから、e＾-(x＾2）を積分する代わりにe＾-(x＾2+y＾2)を積分してその√を取れば解が得られるという論法を利用するんですね。
四角形の領域で
I=∫[x,y:0→a]e＾-(x＾2+y＾2)dxdy
を積分するにはちょっとなんで、四角形に接する大小の円で挟み撃ちを考えるんですね。
半径aの(1/4)円では、
極座標変換して、(x＾2+y＾2)=r＾2, dxdy=rdrdθ
=∫[0→a]e＾-(r＾2)dr∫[0→π/2]dθ
=(1/2)(1-e＾-a＾2)(π/2)=(π/4)(1-e＾-a＾2)
同様に、半径√2aの(1/4)円では、
=(π/4){1-e＾-(2a＾2)}
だから、
x:0→a
√{(π/4)(1-e＾-a＾2)}＜∫[0→a]e＾-(x＾2)dx
＜√{(π/4){1-e＾-(2a＾2)}}
が回答ですね。これ以上は数値表を参照ですね。
a→∞ であれば、
∫[0→∞]e＾-(x＾2)dx=(√π)/2
が回答になりますね。
広域積分でも検索すれば参考になるかも。

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの（1/4）円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe＾-x＾2　をｘ方向に積分すると、
∫[0→a]e＾-x＾2dx
正方形の領域だからe＾-y＾2 をｙ方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e＾-x＾2dx=∫[0→a]e＾-y＾2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e＾-(x＾2+y＾2)dxdy
={∫[0→a]e＾-x＾2dx}＾2
という関係が出ますね。
...続きを読む

他の回答も見る

Q【三重積分】球の体積の求め方

x=rsinθcosω
y=rsinθsinω
z=rcosθ

上記の変数変換を使った三重積分で球の体積を求める時、θの範囲が０≦θ≦πとなるのはなぜでしょうか？（ωの範囲は０≦ω≦２πとなるのに、なぜθは０≦θ≦２πにはならないのでしょうか。）

Aベストアンサー

参考ＵＲＬの例５の図を見てください。球座標の図があると思います。ω＝φと置き換えてください。点ＰをＰ（ｘ、ｙ、ｚ）とします。球の体積を考えるのでｒは一定です。

θはｚ軸の正の方向とベクトルＯＰのなす角です。例えばＰ（０，０、ｒ）のときはθ＝０、Ｐ（０，０、－ｒ）のときはθ＝πです。０≦ω≦２π、０≦θ≦π、ｒは一定とすればｘｙｚ空間に半径ｒの球が描けることが分かるかと思います。

参考URL：http://ksgeo.kj.yamagata-u.ac.jp/~kazsan/class/geomath/juusekibun.html

他の回答も見る
ページトップページトップ

Q質問する（無料）

このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング

おすすめ情報