慣性力を受けるつり革の動きを解析的に求めたい

電車のつり革に慣性力が加わると、慣性力a(m/s^2)と重力加速度ｇ(m/s^2)が釣りあう位置（角度θ）で停止しますが、
実際の電車内では、つり革の先端に加わる加速度は、電車の発進、停止、などの条件で、時間と共に刻々と変化しているはずです。

そこで、単位時間毎に可変する慣性力を受けるつり革の挙動（時間tにおける角度θ、および各加速度dθ＾２/dt^2)を
ルンゲクッタ法による解析で求めたいのですが、どのような運動方程式を立てれば良いのでしょうか？
電車の加速度は、サンプリングタイム10msで計測済みです。

傾き角θ(rad)：時間t(s)：電車の加速度a(m/s^2)：重力加速度g(m/s^2)：つり革先端の質量m(kg)：つり革の長さl(m)：張力T(N)

上で与えられたパラメータを用いて、どのような式を立てれば解析出来るのか、詳しく教えて下さい。よろしくお願いいたします。

No.3 ベストアンサー 回答者： yokkun831 回答日時： 2012/01/11 11:02

>この式をどう変形させたら上手い具合に減衰させることが出来るのでしょうか？

減衰が何によって生じるかで異なります。
たとえば，速さ２乗に比例する空気抵抗を考慮するには抵抗の係数をkとして
x方向
mx'' = ma - T sinθ - k (x' ^2 + y' ^2)・cosθ・sgn(x')
y方向
my'' = mg - T cosθ - k (x' ^2 + y' ^2)・sinθ・sgn(y')
のように減衰項を付け加えます。

※sgn(X)はXの符号によって±1をとる符号関数です。

この回答へのお礼

詳しい解説ありがとうございます。
非常にわかりやすかったです。

お礼日時：2012/01/15 12:09

No.4 回答者： yokkun831 回答日時： 2012/01/11 11:04

ごめんなさい。

No.2は間違えたままうっかり投稿してしまったものですので，無視して下さい。

No.2 回答者： yokkun831 回答日時： 2012/01/11 10:51

>この式をどう変形させたら上手い具合に減衰させることが出来るのでしょうか？

減衰が何によって生じるかで異なります。
たとえば，速さ２乗に比例する空気抵抗を考慮するには抵抗の係数をkとして
x方向
mx'' = ma - T sinθ - k x' ^2
y方向
my'' = mg - T cosθ - k y' ^2
のように減衰項を付け加えます。

No.1 回答者： yokkun831 回答日時： 2012/01/10 10:51

支点から右向きにx軸，鉛直下向きにy軸をとれば，おもりの位置は

x = L sinθ
y = L cosθ
時間微分をとると，
x' = Lθ' cosθ
y' = -Lθ' sinθ
x'' = Lθ'' cosθ - Lθ' ^2 sinθ
y'' = - Lθ'' sinθ - Lθ' ^2 cosθ

つり革の質量は無視してよいですか？

x方向の運動方程式
mx'' = ma - T sinθ
すなわち
mL(θ'' cosθ - θ' ^2 sinθ) = ma - T sinθ
y方向の運動方程式
my'' = mg - T cosθ
すなわち
-mL(θ'' sinθ + θ' ^2 cosθ) = mg - T cosθ

となると思います。連立させればTが消去され，θの微分方程式を得ます。

この回答へのお礼

本当にありがとうございます！
yokkun831さんの式を使って解析してみたら、良い感じの波形になりました。
しかし、一つ問題がありまして、この式だと減衰しない波形になってしまうみたいです。
重ね重ねお手数かけますが、この式をどう変形させたら上手い具合に減衰させることが出来るのでしょうか？

お礼日時：2012/01/11 04:06