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回転運動の運動エネルギーについてよく分からないところがあり困っています。

回転運動の運動エネルギーについてよく分からないところがあり困っています.

問題は,写真に示すような長さl,質量mの一様な剛体棒の一端Oが速度vで水平に移動し,そのO点を中心に角速度(θ')で回転している.棒の運動エネルギーを次の中から選べ.ただし,棒の太さは長さに対して十分に細いものとする.

という問題で,解答は

(1/6)・m・l^2・(θ')^2 + (1/2)・m・v^2・ + (1/2)・m・l・v・(θ')・cosθ

です.解説には並進運動と回転運動とに分けて解説してあり、

[並進運動]
Tr= (1/2)・m・v^2 となるのは理解できます.

[回転運動]
剛体の回転中心Oにおける慣性モーメントIo=(1/3)・m・l^2
となるのは理解できるのですが,その後の 回転中心Oまわりの回転エネルギーToは,

To=(1/6)・m・l^2・(θ')^2 + (1/2)・m・l・v・(θ')・cosθ のところで,

なぜ第2項がでてくるのかが分かりません.

回転の運動エネルギーは
(1/2)・(Io)・(θ')^2なのに,なぜ第2項が出てくるのでしょうか.
どなたか助けてください.お願いします.

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A 回答 (9件)

この後は質問者さんのレスポンスを待ちたいと思いますが・・・・



>解答がこれを回転エネルギーの方に入れて並進と回転の分離ができているという表現をしているのはおかしいのです。

回転しない、つまり、角θを一定に保ったままの運動で現れない項を、「回転することによって生じてくる項」という意味で回転のエネルギーとしてまとめただけだと思いますが、そんなにおかしいですか?

#1にしたがって計算すれば、重心運動の運動エネルギー は

(1/2) M [ (V + (l/2)θ'cosθ)^2 + ((l/2)θ'sinθ)^2 ]

になります。このまま解釈すれば意味は明確です。

クロスタームと称しているものはこれの水平成分から出てくるもので、水平成分にはO点まわりの回転による成分とO点の並進による成分の二つが共に寄与しているので、そのクロスタームが出てくるのは当たり前です。

これを展開して分割し、

(1/2) M [ V^2 + V l θ'cosθ + (l^2/4)θ'^2(cosθ)^2 + (l^2/4)θ'^2(sinθ)^2 ]
=(1/2) M [ V^2 + V l θ'cosθ + (l^2/4)θ'^2 ]
=(1/2) M V^2 + (1/2) M V l θ'cosθ + (1/8) M l^2 θ'^2

この最後の項を回転のエネルギー(1/2)(1/12)Ml^2 θ'^2 = (1/24)M l^2 θ'^2 とあわせて

(1/8) M l^2 θ'^2 + (1/24)M l^2 θ'^2 = (1/2) [(1/3)Ml^2 ] θ'^2

と書き直してしまうから意味不明な項が残るんです。


速さVで動いている台から相対速度uで質量mの質点を打ちだしたときに、質点の運動エネルギーは

(1/2)m (V+u)^2 = (1/2) mV^2 + mVu + (1/2)mu^2

で、ここからmVuだけとり出してこのクロスタームにどういう意味があるかといわれても困るでしょう。
それと同じことです。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

重心の運動エネルギーと回転によるエネルギーを合わせるとこの式が出てくるんですね。

今まで、運動エネルギーの出し方で、y方向の速度成分((l/2)θ'sinθ)を入れずに、
x方向の速度成分(V + (l/2)θ'cosθ)のみで計算してしまっていました。

おかげでスッキリしました。

お礼日時:2012/02/01 03:07

#6


>#1の計算でも#3と同じ結果になっていることはすぐに確認できます。

#3では回転運動が分離できていないという結果になっています。
分離できていないというよりは意味のよく分からないクロス項が出てきていると言う方がいいでしょう。
それと同じ結果が出てくるということは#1でやってもやはり意味はハッキリしないということになるようです。確かに重心の運動と重心周りの運動に分離することはできますが重心の運動の表現の中にωやθが入ってきているのですから見やすくなっているというわけではありません。
元々の質問はこの式の意味についてでした。
計算したら出ましたということ以上のことが言えるといいのですが、・・・
(重心座標と相対座標で書き下す方が機械的に出すことができるという利点はありそうです。)

元々の質問文の中に書かれている式はO点周りの回転になっています。
慣性モーメントの値はO点周りのものです。O点周りの回転のエネルギーになります。
mv^2/2は回転が無いとした時の棒の運動エネルギーです。(回転が無いとした時の重心の運動エネルギーだと言っても同じです。しかし回転運動と重心運動を分離した時の重心の運動エネルギーには等しくありません。重心自体が回転するのですから当然です。)
残りの一つの項 mLvωcosθ/2 の意味が分からないというのが元々の質問でした。(私にもわかりません。)解答がこれを回転エネルギーの方に入れて並進と回転の分離ができているという表現をしているのはおかしいのです。この項は分離できていないことによるクロス項です。重心の座標と重心に対する座標で書きなおせば 重心の運動を表す項の中に含まれてしまいます。慣性モーメントの値も変化します。θが含まれているから回転エネルギーの方に含まれるものだという扱いに「?」が付きます。(O点の周りを回転する場合の慣性モーメントと重心周りの回転の慣性モーメントとは4倍の違いがあります。)

#7
>この場合には固定点まわりで考えるのが簡単です。

今考えているのは固定点周りの運動ではありません。
棒の一端が等速度運動をしている場合です。
固定点周りの剛体の回転であれば回転しかないのですから分離の必要がないのは当然です。
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#4に補足です。



#4は回転運動を分離する必要がある場合の話で,普通の剛体振り子のように動かない固定点(というのも変な表現ですが)の場合は,運動を分離する必要がそもそもないので,この場合には固定点まわりで考えるのが簡単です。
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束縛があろうがなかろうが,運動エネルギーはその瞬間の速度だけで決まるので,何もかわることはありません。

速度さえわかれば,拘束力を含め,どこにどんな力が働いているかという情報は不要で(導出の過程に入れる余地がない),このような問題の場合,各点の速度は運動学のみで決まります。実際,#3でも使っているのは力ではなく,相対速度を使った運動学の関係だけで,#3の速度Vが拘束によって与えられているものか,拘束のない自然な運動によってきまる速度なのかによらず同じ結果です。

#1の計算でも#3と同じ結果になっていることはすぐに確認できます。
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#4さま



「Oが等速度vで運動する」という束縛条件のある場合について
重心を基準とすれば並進と回転が分離できるという表現を導いてあげて下さい。
私にはできません。
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#1ですが,補足しておきます。



剛体の運動エネルギーは,重心を基準点に選んだときだけ並進と回転に分離できるので,

・運動エネルギーを求める場合は重心を基準に取る

ことが基本です。面倒な計算をしたくなければこう覚えてください。
重心の位置を基準にとれば,どんな場合でも剛体の運動エネルギーは

A. 重心の位置にある質点(質量は剛体に等しい)の運動エネルギー
B. 重心まわりの剛体の回転エネルギー

の和で書けます。

角運動量も重心を基準点に選んだときだけ分離が可能なので,これも重心を基準に選ぶのが基本です。

角運動量と運動エネルギー以外であれば,どの点を基準にとっても等価な形で運動は記述できますので,都合のいいように基点をとってかまいません。

念のためですが,どの点を基準に選んでも剛体の角速度は等しいということも基本ですから押さえておいてください。
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#2です。



#2の後半で書いたような場面で考えよということのようです。
棒の端Oが等速度運動をするような束縛があるという場合です。
従って重心運動とその周りの回転という枠組みで考えるのは不適当です。
Oの運動を基準にしてOの周りの運動を考えることになります。
Oの運動を維持するためには外部との間でエネルギーの移動が必要です。棒のエネルギーは一定ではありません。回転の中心に対する位置(角度)によって変動します。

念のためにいきなり結果を出すのではなくて棒を質点の集まりとして計算してみましょう。
Oの速度をVとします。
i番目の質点の質量をmi、速度をviとします。Σmi=mです。
Oに対する速度をuiとします。ui=vi-V です。(ベクトルの矢印を省いています。)
棒の運動エネルギーをEとします。
2E=Σmivi^2
 =Σmi(ui+V)^2
 =ΣmiV^2+2Σmi(uiV)+Σmi(ui)^2
 
棒の各部分を質点と考えています。各質点はOを中心とする回転運動をやっています。
uiは棒に垂直です。uiとVの内積はuiVcosθになります。
(ここからui、Vはスカラーになります。)
質点のOからの距離をri、棒の回転の角速度をω(=θ')とします。
ui=riωです。
2E=mV^2+2VωcosθΣmiri+ω^2Σmi(ri)^2
  =mV^2+2Vωcosθm(L/2)+mω^2L^2/3

E=mV^2/2+VωcosθmL/2+mω^2L^2/6

重心の運動と重心の周りの運動という変形をやっているのではなくて
棒の端の点の運動とその周りの運動という変形です。
回転と並進という分離ができているのではありません。
回転運動と並進運動が分離できるという立場で解答が書かれていることが混乱のもとになっているようです。
クロス項がありますから分離できていないのです。
θを含む項をすべて回転だとしているのはおかしいですね。第2項にはVとθの両方が入っています。
分離できるのであればVが入ってきてはいけないのです。
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問題文がおかしいのか何か条件が抜けているのかのどちらかではないでしょうか。



>[並進運動] Tr= (1/2)・m・v^2 となるのは理解できます.

これは成り立ちません。
#1にも書かれているようにvは棒の重心速度ではないからです。
O点で何か束縛力が働いているのでない限り、Oは一定の速度vで運動することはあり得ません。
外力が働いていなければ重心の運動が等速度運動になります。
その場合、棒の端の点Oのある瞬間での速度がvであったという設定になります。

問題文の場面設定
>長さl,質量mの一様な剛体棒の一端Oが速度vで水平に移動し,そのO点を中心に角速度(θ')で回転している.

これだと重心が回転運動をしていることになります。Oが等速度運動をしているという設定であればレールの上にある台車に取り付けられている棒を考えないとダメでしょう。台車には駆動装置が付いていて等速度で運動するように設定されているという場面です。これを解くのは難しいと思います。
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重心はO点から見て速さ(l/2)θ'で円運動しているので,O点から見て



水平方向に(l/2)θ'cosθ
鉛直方向に(l/2)θ'sinθ

の速さを持っています。O点自身が水平にVの速さを持っているので重心の水平方向の速さは

V + (l/2)θ'cosθ

です。これから重心の運動エネルギーを計算し,重心まわりの回転のエネルギーを加えます。

('は時間微分をあらわす)
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1/2Iω^2です。これの証明は、まず剛体の各微小部分
を考えます。その各微小部分(質量Δm)の運動エネルギーは
1/2Δmv^2=1/2Δm(rω)^2となります。v=rωというのは微小部分の速度ですが、その微小部分が回転軸からr離れていて、そして剛体は角速度ωでまわっているからです。
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Q回転エネルギーを考慮した場合のエネルギー保存則で求めた速さには、どうして物体の大きさが関係しないのでしょうか?

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これはθに関する微分方程式を解かなければいけません。
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Q慣性モーメントの運動エネルギー

お世話になっております。
慣性モーメントの運動エネルギー(正式名称は回転運動のエネルギーでいいのでしょうか?)について
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たとえば
重心周りの慣性モーメントがIzで質量がm,回転中心軸からの距離がlであるとき、その剛体が中心軸に対して角速度wで動いている場合
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それとも
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なお、このときの角速度wを測る基準となるθは重心からとるべきなのか、中心から取るべきなのかもよくわかりません。

どなたかご教授お願いいたします。

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本来,回転の運動エネルギーは運動エネルギー
の一部であると考えるべきだと思います。
私たちは,剛体の運動を調べるときに便宜的に
重心の運動と重心周りの回転運動とに分けるわけ
ですが,現実に存在する運動エネルギーは剛体の
各部の運動エネルギーの総和にすぎません。
ですから,もともと回転運動のエネルギーと
並進運動のエネルギーを分けることは便宜的な
操作であると解釈できます。
さて,提示された場面の場合回転を中心周りに
とるか重心周りにとるかですが,それは何を知り
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Q加速度と角加速度の関係について

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半径rが定数とすれば、その通りです。
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Q振り子の慣性モーメントの求め方

鉄の棒の先に立方体の重りを付けた、振り子の慣性モーメントを求めたいのですが、振り子全体の慣性モーメントの求め方と、鉄の棒と重りのそれぞれの慣性モーメントの求め方を教えてください。よろしくお願いします。

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できれば詳しく教えていただけたら幸いです。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

慣性モーメントは、
回転中心をどこに取るかによって異なります。

定義は
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88
を見てください。

おそらくは重心周りの慣性モーメントだと思うので、
鉄の棒では密度を線密度に置き換えて積分してください。
鉄の棒
I=∫[-L/2→L/2] m1/L * r^2 dr
立方体
I=∫∫∫[x:-a/2→a/2 y:-a/2→a/2 z:-a/2→a/2] m2/a^3*√(x^2+y^2+z^2) dxdydz
を計算します。

振り子全体の慣性モーメントは、回転中心からの慣性モーメントだと思うので、積分によって求めた、鉄の棒と立方体の重心周りの慣性モーメントを用いて、運動エネルギーを出します。

平面上の振り子運動だと思うので、
角度をθ、重心までの距離をr1,r2などと置いて、それぞれの重心のx座標、y座標をr、θで表します。
速度v1,v2を微分によって求めます。

ここで、運動エネルギーは、並進の運動エネルギーと回転の運動エネルギーの和なので、
E = 1/2 mv^2 + 1/2 Iω^2 (*)
の形であらわされます。

これを用いて、振り子の運動エネルギーを出して、この運動エネルギーを
E=1/2 Iω^2の回転のみのエネルギーとした時の、Iにあたる量が振り子の慣性モーメントです。
(振り子の回転中心は動かないので上記の形にかけます)
(鉄の棒と立方体は重心中心の慣性モーメントなので、重心が動くので(*)の形でかけます)

慣性モーメントは、
回転中心をどこに取るかによって異なります。

定義は
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88
を見てください。

おそらくは重心周りの慣性モーメントだと思うので、
鉄の棒では密度を線密度に置き換えて積分してください。
鉄の棒
I=∫[-L/2→L/2] m1/L * r^2 dr
立方体
I=∫∫∫[x:-a/2→a/2 y:-a/2→a/2 z:-a/2→a/2] m2/a^3*√(x^2+y^2+z^2) dxdydz
を計算します。

振り子全体の慣性モーメントは、回転中心からの慣性...続きを読む

Q剛体に力が働いたときの並進運動と回転運動について

 剛体に力が働いたとき
(1)力の作用線が重心を通っていれば、剛体は並進運動のみ
(2)力の作用線が重心を通っていなければ、剛体は並進運動と回転運動をする
 ここで、どうしても理解できない点があります。
それは「(2)において剛体が回転運動をするときの回転の中心は重心とは限らないのではないか?」ということです。
 いくつかの物理学の本に目を通したのですが、回転の中心がいつも重心となっています。私は「回転の中心は重心とは限らず、剛体内のある1点かもしれないし、場合によっては剛体の外にあるかもしれない。力の大きさ・方向によって、回転の中心も変わるのではないか?」と思っているのですが・・・
 また、「力が重心から外れて働いた時に、力の大きさ・方向によって回転の中心が変わるとすれば、回転の中心となる点の法則はあるのでしょうか?」
 高校のとき使用していた物理の教科書を読み返している社会人です。高校レベルでの回等でありますと、大変助かります。どうか宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

こんにちは。

SATA_YUKI さんのお聞きになっている事と教科書に載っていることの間には大分食い違いがあるとおもいます。

ともうしますのは、教科書によく載っているのは重力や摩擦がない状態ならば、と言う前提で書いてあります。

これはかなり非現実的な状態を考えています。

たぶん、そのギャップが大きすぎてよく分からなくなっているのではないでしょうか。

ですので、SATA_YUKI さんが疑問に思っている事柄を次のように分解して考えていただけますか。

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2)上で得られた答えを基礎にして、現実の運動について考える。

しかし(2)についての答えはうまく得られていないのが現状のようです。

コマ、摩擦、地球の自転、ストークスの法則、アトラクター、ダフィング方程式、カオス、などをキーワードとしてネット検索してみてください。

Q回転エネルギーとは

回転エネルギーというものがいまいち分かりません。
もし、斜面に剛体を転がした場合はじめ剛体がもっていた位置エネルギーは運動エネルギーと回転エネルギーに変わり、その分斜面方向の加速度は減少するのでしょうか。

Aベストアンサー

回転のエネルギーというのは運動エネルギーの一種です。
車輪の回転を考えてもらえば分かりますが軸の周りの回転は回転という運動です。重心が動かない場合でも可能な運動が回転なのです。
斜面で剛体を転がした場合は回転と落下とが同時に起こります。滑らずに転がる場合であれば1回転で重心は円周分の距離だけ斜面に沿って落下します。

>位置エネルギーは運動エネルギーと回転エネルギーに変わり、
この文章で運動エネルギーと書かれている内容は重心の運動エネルギーです。
位置エネルギーは運動エネルギー(重心の運動エネルギーと重心周りの回転の運動エネルギー)に移ります。
回転のエネルギーに移る量が多ければ重心の運動エネルギーに移る量は少なくなります。

缶ジュースを2本用意してください。片方は飲んでしまいます。そこに小石と発泡スチロールをつめてジュースの詰まっている缶と同じ質量にします。中の小石が動かないようにうまくつめてください。
板でスロープを作って2つの缶を同時に転がします。
どちらの缶が速く落ちるでしょうか。
やってみればはっきりと差が分かります。
やる前に予想して下さい。理由も考えてください。
(この文章を書いている間に#3が出ました。アスパラガスの例ではあまりハッキリと差が出ないと思います。アスバラガスは缶に固定されていないからです。小石と発泡スチロールを詰めたものは私が授業で実際に使ってきたものです。教室の後ろにいる生徒が見てもはっきりと違いが分かります。)

回転運動では慣性モーメントという量が出てきます。
#2の回答にはN=αIという式が出ています。Iは「回転の起こりにくさを表す量」だと書かれています。モーメントという言葉は高等学校では力のモーメントとして出てきました。Nはその力のモーメントです。ところが今までモーメントだと思っていたものが「トルク」という言葉に代わり、新しく「慣性モーメント」という別の量が出てきたのです。わけが分からなくなります。
F=ma
N=αI
の対応関係もただ2つのよく似た公式というだけの受け取り方になってしまいます。おまけにIを求める計算で「面倒だなあ!」という印象になってしまい案す。
回転のエネルギーというのが普通の運動エネルギーと違ったものという印象になってしまうようです。

回転の運動エネルギーを普通の運動エネルギーとつないで見ます。

質量mの物体が半径rの円周上を角速度ωで回転しているとします。
運動エネルギーは
(1/2)mv^2=(1/2)m(rω)^2=(1/2)mr^2ω^2
です。この表現は回転という言葉があっても普通の運動エネルギーのイメージです。違和感はないと思います。
ここでの物体は暗黙のうちにボールのような塊を考えています。
でも円周上に均一にこの質量が分布している場合でも同じはずです。
スポークの質量を無視できれば車輪(車輪状の物体)の回転がこれに当てはまります。
車輪の慣性モーメントIはここに出ているmr^2です。(1/2)Iω^2です。
円盤になれば半径の異なる車輪を重ね合わせて考えればいい事も分かります。質量m、半径rの円盤が角速度ωで回転している時の運動エネルギーを(1/2)Iω^2と書くとI=(k)mr^2と車輪の場合からの修正が出てきます。k<1です。半径が0~rまでの車輪の運動を重ね合わせたものですから質量の全てがrの所にある場合よりもエネルギーは小さくなっているはずです。#1に円柱の場合はk=1/2とかかれています。半径が1/√2の車輪の場合と同じだという意味です。

慣性モーメントを「回転の起こりにくさ」というのであれば質量は「動きにくさ」と言わなければ対応が付きません。運動方程式や運動エネルギーのなかのmをただ質量と呼ぶのであればIを「回転の起こりにくさ」と呼ぶのはハードルを1つ増やす事になります。
私は上に書いたように
回転の運動エネルギーを角速度ωを使って表したときの質量に対応する量とするのが分かりやすいのではないかと考えています。
回転の運動エネルギー=(1/2)Iω^2
とした時のIです。(これは#1でも書かれています。)
剛体の回転の場合、剛体の各部分によって速さが変わりますから(1/2)mv^2という式が使えなくなります。使うことが出来るのはvではなくてωです。こういうことも学習し始めたばかりの時にはなかなか踏まえにくいものです。剛体であってもvの値が1つに決まる場合は質点の場合と区別する必要はないということも分かります。車輪のような場合です。

いろんな言葉使いや式がギャップを作ってしまい、回転のエネルギーが運動エネルギーとは別のものという近寄りがたい印象を与えるようになってしまっているのではないでしょうか。

回転のエネルギーというのは運動エネルギーの一種です。
車輪の回転を考えてもらえば分かりますが軸の周りの回転は回転という運動です。重心が動かない場合でも可能な運動が回転なのです。
斜面で剛体を転がした場合は回転と落下とが同時に起こります。滑らずに転がる場合であれば1回転で重心は円周分の距離だけ斜面に沿って落下します。

>位置エネルギーは運動エネルギーと回転エネルギーに変わり、
この文章で運動エネルギーと書かれている内容は重心の運動エネルギーです。
位置エネルギーは運動エネ...続きを読む

Q中が中空の球の慣性モーメントの求め方について

中が中空の球(球殻)の慣性モーメントの求め方がわかりません。
球の質量をM、半径をaとすると2/3Ma^2となるとは思うのですが、求める過程がわからないのです。
教えてください。

Aベストアンサー

球の中心を原点とした一般的な直交座標と極座標を考えて下さい。

r≠aではρ=0なのでr=aだけを考えればよく、面積分に帰着するわけです。
球の質量はr=aに一様分布なので(面)密度ρ=M/(4πa^2)となります。

それで、座標Ω=(θ,φ)において、z回転軸周りでは面積素片はdS=a^2*sinθdθdφになりますよね。さらに軸からの距離r'=a*sinθです。

あとはI=Mr^2に沿って計算すれば、
(0<θ<π, 0<φ<2π)

I=∬ρr'^2 dS
=ρ∬(a*sinθ)^2*a^2*sinθdθdφ
=ρa^4∬(sinθ)^3 dθdφ
=Ma^2/(4π)*2π∫(sinθ)^3 dθ
=Ma^2/2*(4/3)
=(2/3)Ma^2

と、こんなもんでよろしいのではないでしょうか。
慣性モーメントの計算なんて7年ぶりくらいです。ああ、間違ってないといいけど・・・(自信なくてすみません)

Q回転する円盤、摩擦の向きと摩擦のする仕事。なぜ

こんにちは、現在一点質問させて頂いておりますが、もう一点お伺いしたい
ことがありどうか宜しくお願いします。

回転する円盤にかかる摩擦力についての質問です。
図のように水平面を回転する円盤があり、その上端にはある質量の物体(緑色)
が載っているとします。円盤は滑らずに回転しています。
今、円盤が私たちからみて反時計回りに回っている場合、

(1)円盤「が」、床「から」、受ける摩擦力の向きは、左右どちらでしょうか。
滑らずに、とあるため、静止摩擦力が働いており、その向きは左向きと思いま
す(そして同時に円盤は床に摩擦力を与え、その向きは右と考えて
います)。けれども、何となくそう思うだけで、明確な理由が分かりません。
右向きなのかと言われたら、そうかも知れないと思ってしまうくらい、理由がはっきりしません。
もしかしたら、円盤の回転方向だけではどうにも分からないことなのでしょうか。

(2)また、円盤「が」、物体(緑色)「から」受ける摩擦力はどうでしょうか。
これは右向きと思います。しかしながあら、上と同じく、明確な理由がありません。
どうかお教え下さい。

(3)さらに、もともとも問題は添付の図の最下段のような状況でして、
静止状態にあった緑色の物体が、10Nの力で左に引っ張られています。
円盤の重さ、半径、物体の重さが与えられており、2.5秒後の緑色物体の速度
を求めよ、という問題です。

模範解答では、10Nの力がした仕事 = 運動エネルギーの変化(物体と円盤の線速度
、円盤の回転運動)

という式を立てて解いており、(1)(2)で挙げた摩擦の仕事が入っていません。
なぜ、摩擦のした仕事は負でも正でもなく、ゼロなのでしょうか。
物体の進行方向と同じ向きまたは正反対の向きに力をもち、その物体はある距離進んで
いれば、正または負の仕事をすることになると思うのです。ところが、摩擦のした仕事は
なく、外力(10N)がした仕事だけで解いています。まったく分からず、悩んでおります。
基本的なことと思いますが、どうにも分かりません。
どうか、ヒントだけでも頂きたく、宜しくお願い致します。

こんにちは、現在一点質問させて頂いておりますが、もう一点お伺いしたい
ことがありどうか宜しくお願いします。

回転する円盤にかかる摩擦力についての質問です。
図のように水平面を回転する円盤があり、その上端にはある質量の物体(緑色)
が載っているとします。円盤は滑らずに回転しています。
今、円盤が私たちからみて反時計回りに回っている場合、

(1)円盤「が」、床「から」、受ける摩擦力の向きは、左右どちらでしょうか。
滑らずに、とあるため、静止摩擦力が働いており、その向きは左向きと思い...続きを読む

Aベストアンサー

混沌としてきたので、ちょっと整理してみます。

まず話を、円盤と床だけにして、外力を
円盤の中心に加える場合と、円盤の上端に加える場合で
考えてみます。

円盤の移動方向は左をプラスとし、角度は反時計回りを
プラスとします。

円盤の角加速度をα、円盤の重心の加速度をa、外力を f1(左向きをプラス) ,
床から円盤への 静止摩擦を f2(左向きをプラス), 円盤の半径を r
円盤の重さを M とすると、

1) 円盤の中心に外力 f1 を加える場合

並進運動の方程式 M a = f1 + f2
回転運動の方程式 (1/2)r^2 M α = -rf2
束縛条件 rα = a

整理すると f1 + f2 = -2f2 → f2 = -(1/3)f1

静止摩擦は外力の 1/3 で「右向き」になります。

つまり、中心を押すと、静止摩擦によってトルク(反時計回り)が
発生し、円盤は左方向へ加速します。

2) 円盤の上端に外力 f1 を加える場合

並進運動の方程式 M a = f1 + f2
回転運動の方程式 (1/2)r^2 M α = rf1 - rf2
束縛条件 rα = a


整理すると f1 + f2 = 2f1 - 2f2 → f2 = (1/3)f1

静止摩擦は外力の 1/3 で「左向き」になります。

つまり、上端を押すと、外力でトルク(反時計回り)が
発生し、円盤は左方向へ加速します。
外力による回転に反発して回転に逆らう静止摩擦が発生するという図式になります。

以上ですが、円盤の回転方向と静止摩擦の方向は全く
無関係であることに注意してください。運動方程式に
回転速度は全く出てきません。

#全部オンラインなので、間違いが無いことを祈ってます(^^;

混沌としてきたので、ちょっと整理してみます。

まず話を、円盤と床だけにして、外力を
円盤の中心に加える場合と、円盤の上端に加える場合で
考えてみます。

円盤の移動方向は左をプラスとし、角度は反時計回りを
プラスとします。

円盤の角加速度をα、円盤の重心の加速度をa、外力を f1(左向きをプラス) ,
床から円盤への 静止摩擦を f2(左向きをプラス), 円盤の半径を r
円盤の重さを M とすると、

1) 円盤の中心に外力 f1 を加える場合

並進運動の方程式 M a = f1 + f2
回転運動の方程式 (1/2)r^2 M α =...続きを読む


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