水蒸気と音速について

水蒸気中の音速について

物理の気柱の共鳴の実験の考察課題で

「水蒸気圧が大きくなると音速が大きくなるから気温から単純にV＝331.5+0.6ｔで音速を求めても正確でないから実験値を補正しろ」

といわれその横に温度と飽和水蒸気圧の関係が0℃～100℃まで表で載っていてそれを参考にしろと

指示されました。

自分なりに調べてみたのですが

「比熱比」「気体弾性率」....と自分（←高2）の知らないことがズラリ.....

それで思ったのが

「温度と飽和水蒸気圧の関係の表一つで補正できるのかな」と思いました

理由は3行前にしめしたような難しいコトに何一つ触れられていなかったからです

もしも2行前のことが正しければ

補正する式を教えて下さい。

逆に正しくなくても（高2レベルでわかるような）何かご回答をお願いします。

文が長くなり失礼しました。

No.2 ベストアンサー 回答者： htms42 回答日時： 2012/01/30 13:56

調べられた通りです。

音速の式の中にはモル質量と比熱比、温度が含まれています。
水蒸気が空気に混ざってくれば両方のモル質量、比熱比、混合率が必要になります。
飽和水蒸気圧だけでは決まりません。
飽和水蒸気圧が必要になるのは混合比を求めるのに使うことを考えているからです。

水蒸気の補正をやるとします。
その時に用いる水蒸気圧は気柱部分の実際の水蒸気圧です。
飽和水蒸気圧であるとは限りません。
室内の空気の湿度は当然１００％ではありません。
冬場は温度が低いですから飽和蒸気圧の値も小さいです。１０℃と３０℃では４倍近い違いがあります。でも蒸発速度も小さくなりますので湿度が小さくなります。飽和蒸気圧の値が小さいにも関わらず乾燥注意報が出るような日が続くことになります。
気柱の内部は飽和になっているはずだとしているのでしょう。
乾燥した部屋の中で口の開いたガラス管の中で水面を上げ下げします。飽和にはなっていないでしょう。でも飽和に近いとして考えるというのは一つの近似としては成り立つでしょう。

ｗｉｋｉに湿り空気の場合の音速の式が載っています。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9F%B3%E9%80%9F

この式は理科年表に載っているものをそのまま転記したものです。
音速の元の式の中で平均操作と近似操作を行っています。

この式と比熱比を先生が示した上で飽和蒸気圧を使えと言ったのであれば意味が分かります。
しかし、飽和蒸気圧の表だけを示したのであれば先生はよく分からずに問題を出していることになります。
元の音速の式の中に比熱比が出てくるのですから比熱比の異なる気体が混ざったことによる補正式を求めれば両方の気体の比熱比が必要になってくるのは当然なのです。

化学便覧に載っている比熱比の値は１００℃で水蒸気　１．３２４、空気　１．４０１です。

気圧、水蒸気圧は測定が必要です。

式に数値を代入してみれば　補正項の大きさが分かります。１／１０００程度です。
気柱の共鳴の実験に１／１０００の精度を求めることはできません。
やってみられたようですから分かると思いますが共鳴点での水面の高さをｍｍで測ることは無理ですね。ｃｍでも危ういでしょう。波長の測定が２桁の精度しかないのです。
音速の精度は３桁あれば十分です。冬場の実験で音速に対する水蒸気の影響を考える必要はないはずです。

参考
比熱比を使った音速の式
ｖ＝√(γＲＴ／Ｍ）

γ＝定圧比熱／定積比熱・・・比熱比
Ｍ：気体１モルの質量[kg]（ｗｉｋｉに「分子量」と書いてあるのは誤りです。）
Ｒ＝８．３１４５[J/mol・K]
Ｔ：絶対温度

水蒸気が少し混ざっている空気の音速を求めてみます。
全体に対する水蒸気の割合（モル比）をαとします。空気の割合は１－αです。
γの部分、Ｍの部分をこの割合で平均します。
γの代わりにγ(１－α)＋γ'α
Ｍの代わりにＭ(１-α)＋Ｍ'α
を入れます。（'　の付いている方が水蒸気です。）
Ｖ＝√((γ(１-α)＋γ')/(Ｍ(１-α)＋Ｍ'α))√(ＲＴ)
　＝√（(１－α＋αγ'/γ)/(１－α＋αＭ'/Ｍ)）√（(γＲＴ)/Ｍ）
　＝ξｖ
ξ＝√（(１－α＋αγ'/γ)/(１－α＋αＭ'/Ｍ)）
　＝√(１＋α(γ'/γ－１))/(１＋α(Ｍ'/Ｍ－１))・・・補正係数
　
ここでαが小さいとして近似をします。
分子にまとめても分母にまとめてもかまいません。
理科年表の式は分母にまとめたものです。

分子にまとめてみます。
1/(１＋ｘ)～１－ｘ　
(１＋ｙ)(１－ｘ)～１＋ｙ－ｘ
という近似式を使います。

ξ　～　√(１＋α(γ'/γ－Ｍ'/Ｍ))
α　～　ｐ/Ｐ全＝水蒸気圧／全圧　

目的の式が出てきました。

分母にまとめた場合はαの前の符号が－になります。

ルートの中で近似を使っているのですから同じようにして√　も外してしまえば簡単になります。
√（１＋ｚ）～１＋ｚ/２

ξ　～　１＋α(γ'/γ－Ｍ'/Ｍ)/２
数値を入れると１からのずれはほぼ１／１０００になります。

この回答へのお礼

わざわざ長い文を添えて説明して頂いてありがとうございました。
式にそってなんとか導き出して見るよう頑張ります。

お礼日時：2012/01/31 18:23

No.1 回答者： el156 回答日時： 2012/01/29 23:28

音速は媒質の密度と体積弾性率で決まります。

軽くて硬い媒質ほど音速は速く、重くて柔らかい媒質ほど音速は遅くなります。
体積弾性率と言うと言葉は難しそうに聞こえますが、簡単に言えば媒質の硬さですから、圧力と体積の関係です。気体の場合、圧力と体積の関係はボイルーシャルルの法則に依ってモル数と気体定数と温度だけで決まり気体の種類に依存しません。ですから結論を言えば、例題の場合、水蒸気の有無は体積弾性率に関係しないということです。
一方密度は体積あたりの重さです。こちらに対してもボイルーシャルルの法則を考えれば、密度の比は分子量の比と考えることができます。即ち水蒸気が混じることによって気体分子の平均の分子量がどれだけ下がったのかを比率で考えれば、音速がどれだけ速くなったかわかる筈です。

この回答へのお礼

なんか自分でも出来そうな気が出てきました!!
回答ありがとうございました。

お礼日時：2012/01/31 18:25