No.3ベストアンサー
- 回答日時:
全ての有理数は自然数を分子、分母とした分数の形式であらわすことができます。
大きさが無限の碁盤の目を想像してください。
縦方向に分子xを割り当て、横方向に分母Yを割り当てると、無限に大きな碁盤であれば、全の有理数が割り当てられることが分かります。
つぎに、自然数Nをもってきて、碁盤の目を斜めに割り当てます。図を書くのが面倒なので言葉で説明すると、
(1,1)=1
(2,1)=2
(2,2)=3
(3,1)=4
(3.2)=5
(3,3)=6
(4,1)=7
・・
・・
・
と割り当てて行けば、すべての升目に自然数Nを一対一で対応させることができます。
したがって、有理数全体の濃度は、自然数全体の濃度と同じ、つまりアレフ0であることが分かります。
開区間(a,b)は有理数全体の部分集合です。したがって、有理数全体の濃度よりも大きな濃度をもつことは有りません。
この部分集合が有限集合でないことが証明できれば、この部分集合もアレフ0であることが証明できます。
開区間(a,b)の任意の点Zを取ります。
いかなるZに対しても、(a+Z)/2の点が存在します。
したがって、開区間(a,b)は有限集合では無いことが証明されました。
以上により、開区間(a,b)全体の集合は無限集合であり、その濃度は可算濃度アレフ0であることが証明されました。
数学的表現方法を知らない大工が考えた説明だから、数学の授業の課題だとすると駄目かもしれねえが、意味は理解出るんじゃあんめいか?
No.4
- 回答日時:
内容からいって、子供の質問ではないから、
「1から」の部分は自分でやらなきゃね。
小手先の技について、ちょっと協力してみようか。
要するに、
その区間の集合を S、自然数全体の集合を N として、
S から N への単射と、N から S への単射が
どちらも存在することを示せばいい。
各ひとつづつ挙げて見せれば済む。
N から S へは、例えば、n → (n,n+1) がある。
S から N へは、例えば、
(a,b) が第 k 象限にあるとして、
a, b の絶対値の既約分数表示をそれぞれ p/q, u/v と置き、
(a,b) → (2のk乗)(3のp乗)(5のq乗)(7のu乗)(11のv乗)
などでよい。
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