次の集合
A = {S⊂R | Sは高々可算 }
の濃度を求めよ、という問題の解き方が分からず困っています。
以下、Nを連続濃度(アレフ)とします。
(アレフが入力できないので…すいません。)
写像 f :R→A , x ↦ {x} は単射なので、N≦ |A| である事が分かります。
さらにA⊂2^Rなので、|A|≦2^Nである事も分かります。
この後、どうしたらよいのかが分かりません。
Sが有限の場合なら解けるのですが、可算となると写像をどのように作ればいいかがピンときません。
濃度はNか2^Nになるのだと思いますが…
分かる方がいましたら回答よろしくお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
R が何だかは書かれていないけれど、
R の濃度がアレフだとは書いてある。
R と実数全体の集合の間に全単射が存在する
のだから、その一つを通じて
R と実数全体の集合を同一視することができる。
よって、以下では両者を積極的に混同する。笑
A の各元 S は、集合として高々可算なのだから、
自然数で添字づけることができる。
S が有限な場合は末尾に定数列 0 を連結すると、
S は実数の無限列へと対応づけられる。
この対応は単射である。
更に、実数列 x[n] を数列 1/(1+exp(x[n])) へ
対応づけると、S は 0 から 1 までの実数の
無限列へと単射される。
その第 n 項の小数第 k 位を d[n,k] とすると、
S は十進数字を項に持つ二重数列 d へ単射される。
自然数の直積 (n,k) は可算だから、
自然数で添字づけることができる。
(有理数が可算であることの証明を参考に。)
この添字によって、自然数→(n,k)→d[n,k]
と対応づければ、d は十進数字を項に持つ
(一重添字の)数列へ単射される。
その第 n 項を小数第 n 位と見れば、
結局、S は 0 から 1 までの範囲の
一つの実数へと単射されたことになる。
すなわち、|A|≦アレフ。
…なんだかグダグダした証明だか。
Rは実数の集合、の意味で使っていました。
太線のRの入力方法がわからなかったので…
混乱させてしまい申し訳ありません。
alice_44さんの回答のおかげでなんとか解くことができました。
丁寧な回答どうもありがとうございました。
No.4
- 回答日時:
そうだね。
0 の替わりに、どんな実数列を連結しても
同じことだし。
S を実数列へ写像したとき、有限列の末尾には
実数でない何か(虚数とか、ビアマグとか)
の列を連結しておいて、
正の実数列へ写像するとき、
その「何か」を 0 へ対応させればいい。
…ますます、グダグダが長くなるけど。
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