誘電体に働く力がわかりません

「面積S、横幅Lの導体平板が2枚、間隔dを空けて存在する並行平板コンデンサがある。このコンデンサに電圧Vを印加しながら、コンデンサの右端からxのところまで、誘電率εの誘電体で満たした。真空中の誘電率をε0として、誘電体に働く力Fの方向を求めよ。」
という問題がわかりません。

コンデンサに電荷Qを充電して、電源を外し、誘電体を入れる場合には、コンデンサの静電エネルギーW=(Q^2)/2Cであることから
　　F = －∂W/∂x > 0
よって誘電体に働く力の向きはxの増加する方向（コンデンサに引き込まれる方向）だと思いました。

ですが、電圧Vを印加したままの状態だと、コンデンサの静電エネルギーW=C(V^2)/2なので
　　W = {εSx/(d×L)＋ε0S(L-x)/(d×L)}(V^2)/2
　　F = －∂W/∂x
= SV^2/(2d×L)(ε0－ε)<0
よって誘電体に働く力の向きはxの減少する方向（コンデンサから追いやられる向き）だと思いました。
これであっているのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2012/02/22 19:47

考え方が間違っている。

コンデンサの静電エネルギーの変化と誘電体の運動エネルギーの和は保存しません。
保存量でないためF=-∂W/∂xとはできません。

電源がつながっている状態では電源自体が仕事をするのでその影響を考えないといけないのです。
電源がした仕事=コンデンサの静電エネルギーの増加+誘電体の運動エネルギーの増加
になります。
誘電体が中に入った時、コンデンサの静電エネルギーは増大しますが電源の行った仕事はそれ以上に大きいため誘電体の運動エネルギーは増大します。
(電荷量の増加⊿Qとすると電源の行った仕事はV⊿Qとなります。コンデンサの静電エネルギーの増大は(1/2)V⊿Qですので誘電体に(1/2)V⊿Qの仕事がなされるのです。)

この回答へのお礼

ありがとうございます
電源がつながっっている場合、電源によって誘電体の運動がなされていることを考えなければならないのですね
これからもよろしくおねがいします

お礼日時：2012/02/24 22:07

No.3 回答者： foobar 回答日時： 2012/02/23 14:40

仮想変位を考えるときには、観測する力以外には外部とのエネルギーのやりとりのない状態で考える必要があります。

コンデンサを電池から切り離した状態だと、コンデンサだけ考えても上の条件は満たしますが、電源がつながっている場合には電源とエネルギーのやりとりが起きるのでそこまで考える必要があります。

具体的には、位置がδxだけ移動した時の静電エネルギーの変化δWとその時に電源からコンデンサに移動する(ということは電源のエネルギーが減ってる)電気エネルギー-δU(=-VδQ,δQは電荷の変化)を足した(δW-δU)を考えて、これをδxで割って力を考える必要があります。

＃１さん回答にあるように、δU=2δWになって、結果としてコンデンサ単独のときと同じ向き、同じ大きさの力が作用する、という答えになるかと思います。

この回答へのお礼

ありがとうございます
W=(CV^2)/2=(Q^2)/(2C)のうち、Qが一定かVが一定かを考えて、系全体のエネルギーの総和を考えなければならないのですね
これからもよろしくお願いします

お礼日時：2012/02/24 22:10

No.2 回答者： FT56F001 回答日時： 2012/02/22 19:56

[まず，物理現象として]

コンデンサが一定電圧の電源につながっている場合も，
コンデンサが切り離されて電荷が一定になる場合も，
誘電体に働く静電力は，誘電体を引き込む方向です。

コンデンサの２枚の極板間の距離が変わる場合，
コンデンサが一定電圧の電源につながっている場合も，
コンデンサが切り離されて電荷が一定になる場合も，
いつも極板を引き合う向きに力が働きます。
すなわち，
◎誘電体やコンデンサの極板に働く静電力は，常に静電容量を大きくする向きに働きます。

[仮想変位法]
極板や誘電体に働く力を求める時，これらが仮想的に動いたとしてエネルギー変化によって，
働く力を求める方法を仮想変位法あるいは仮想仕事の原理といいます。この符号はとても複雑です。
コンデンサのエネルギーをW=(1/2)CV^2とおきます。

・コンデンサが切り離されて電荷一定の場合
コンデンサに溜まっていたエネルギーWの一部が力学的エネルギーに変わるので，
Wが減る方向に力が働きます。
F=－∂W/∂x

・コンデンサが一定電圧の電源につながっている場合
静電容量が大きくなって電圧一定ですから，静電力が働く方向に動かすと，Wは増えます。
F=+∂W/∂x
コンデンサの極板あるいは誘電体が力学的にした仕事分と，コンデンサに溜まるエネルギーの増加分は等しく，
その和のエネルギーが電源から流れ込みます。


[コイルの場合]
コイルが短絡されて磁束が一定になる場合は，F=－∂W/∂x，
コイルが電流源につながって一定電流を流し込まれている場合は，F=+∂W/∂x
となり，符号の取り方が違います。
ただし，物理現象としては，

◎　鉄片を引き寄せられたり，コイルを回転させるなど電磁力として働く力は，
　　常にインダクタンスを大きくする向きに働きます。これは電源の種類に関係ありません。

この回答へのお礼

ありがとうございます
運動の方向を考えて、そのとき、静電エネルギーが増加するかどうかを考えればよいのですね
これからもよろしくお願いします

お礼日時：2012/02/24 22:07