コンデンサーの電気量の再配分でのエネルギー保存則

容量C1のコンデンサーにV0の電圧をかけて充電した後、その両端を容量C2のコンデンサーに繋いだ場合ですが、再配後のC1およびC2の電気量は、
Q1 = C1*C1V0/(C1+c2)
Q2 = C2*C1V0/(C1+c2)
になると思うのですが、この場合、再配前後のコンデンサーのエネルギー差を計算してみると、
ΔE = (1/2)C1V0^2 - (1/2)C1(C1V0/(C1+c2))^2 - (1/2)C2(C1V0/(C1+c2))^2
= (1/2)C1V0^2 * (C2/(C1+C2)) > 0
となり、上記ΔE（>0）のエネルギーが消費されていることにななるのですが、
このエネルギーは、いったいどこで消費されているのでしょうか？
何か、私が勘違いしているかもしれません。
分かる方、ご教示願います。

質問者からの補足コメント

• 抵抗Rを繋いだものでは、既に計算していて、その場合はΔEが抵抗で消費されて
  エネルギー保存則が成り立ちます。
  ただ、抵抗が無い場合は、
  (1/C1)∫idt + (1/C2)∫idt = 0から
  (1/C1 + 1/C3)i =0で
  i=0となってしまうようなのですが、これはどう考えればいいのでしょうか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/06/28 12:55

• 「t=0のδ(0)で無限大の電流が流れて、ΔEが消費される」みたいな理解でいいのでしょうか？

    補足日時：2018/06/28 13:16

• (1/C1){V0C1+ ∫[0→t]idτ} - (1/C2)∫[0→t]idτ = 0
  を時間tで微分しているだけです。最もC1の初期の電気量V0C1が抜けていますが、
  微分すれば消えます。
  後、確認なのですが、電気量の保存則は、抵抗があった場合も成り立つのでしょうか？
  また、
  消費されるΔEはC1とC2を直列に繋いだ容量Cに初期電圧V0を掛けたものになるようですが、
  これはなぜなのでしょうか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/06/28 22:37

• afilterさんの後半の議論にはひとつ間違いがあります。過渡応答後のコンデンサーの容量は直列ではなくて並列になります。（私が提示した例でも同じです。）
  afilterさんの例では、失われるエネルギーΔEは、
  (1)繋いだコンデンサーの両端の電荷の符号が等しかった場合
  ΔE(前 - 後) = (1/2)C1C2(V1^2 + V2^2 - 2V1V2)/(C1+C2) >= 0
  (2)繋いだコンデンサーの両端の電荷の符号が違った場合
  ΔE(前 - 後) = (1/2)C1C2(V1 + V2)^2/(C1+C2) > 0
  となり、このΔEが抵抗で消費されます。
  
  一番最後の「質問者からの補足コメント」に書いたように、繋いだ直後にはコンデンサーの容量は直列に見えますが、過渡応答後電荷の再配分が起こって並列になります。この繋いだ直後の直列のコンデンサーのエネルギーが抵抗で消費されるようです。

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/07/01 13:42

• このΔEはRの値には関係しませんが、それはR -> +0の極限のことで、R=0では０で割り算をすることになってしまって理論が破綻してしまいます。R=0の場合は、物理現象的にもありえない状態なので考える必要はないかもしれませんが、t=0でデルタ関数δ(t=0)で無限大の電流が流れて、それを積分するとΔEになるという理解でいいのではないでしょうか？

    補足日時：2018/07/01 13:42

• 私が書いた、「消費されるΔEはC1とC2を直列に繋いだ容量Cに初期電圧V0を掛けたものになるのは何故か？」という答えは、
  繋いだ瞬間にコンデンサーC1とC2は直列接続になるので、その直列接続でのコンデンサーのエネルギーを使って、電荷の再分配が行われて（つまり電流が流れて、それが抵抗で消費されて）並列回路のコンデンサーのエネルギー状態に落ち着く
  ということだと思います。

    補足日時：2018/07/01 15:39

• afilterさんが言っている状態って、私の書いた
  (1)のケースで、V1=V2の時だと思うのですが、その場合ΔE=0（つまり同電位なので電流は流れないで、電荷の再分配は起きない）で、コンデンサーに蓄えられたエネルギーは最初のままということになると思うのですが、何か違うのでしょうか？

  No.11の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/07/01 15:59

No.1 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/06/28 12:45

FAQですが、コンデンサとコンデンサを直に電線でつないで

電荷の再配分を行なうと、理論的には無限大の電流が流れる
筈ですよね？
勿論、そんなことは現実には起きません。電線にも僅かながら
抵抗があって、大きな電流が一瞬でも流れれば、
それなりにエネルギーを消費します。

仮に抵抗rでコンデンサ間を繋ぐとして、抵抗の消費エネルギーを
計算してみると面白いと思いますよ。

エネルギー保存則が正確に成り立つことがわかる筈です。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/06/28 22:12

>抵抗が無い場合は、

>(1/C1)∫idt + (1/C2)∫idt = 0から
>(1/C1 + 1/C3)i =0で
>i=0となってしまうようなのですが

式が変だし、電流がどうやって積分の外に出てきたか不明。

(1/C1){V0C1+ ∫[0→t]idτ} - (1/C2)∫[0→t]idτ = 0
で t=0 の時は V0 = 0

V0 ≠ 0 なので矛盾。あり得ないということです。

(1/C1){V0C1+ ∫[0→t]idτ} - (1/C2)∫[0→t]idτ = ir

なら解があります。

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2018/06/28 22:34

現実にはインダクタンスを持たない閉回路などない。

抵抗は0にできてもインダクタンスは0にできない。
現実の回路では全体がひとつのコイルを形成し、電流が流れることで磁場が作られ、その磁場の形でエネルギーを蓄えてしまう。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/06/29 08:44

>(1/C1){V0C1+ ∫[0→t]idτ} - (1/C2)∫[0→t]idτ = 0

>を時間tで微分しているだけです

この式が数学的に成り立っていないと指摘したばかりなんですが・・・
－兆分のーオームでも抵抗があればなんの矛盾もないのですから
現実にあり得りえず、数学的にも有り得ない仮定を
持ち込んでも無意味でしょう。

>後、確認なのですが、電気量の保存則は、抵抗があった場合も成り立つのでしょうか？

昔、量子力学で習いましたが、現在の標準理論では
ゲージ対称性がどうたらこうたらというややこしい理論があって
#ワインバーグ・サラムだっけ・・・
電荷は永久に不滅です。抵抗を通ったくらいでは勿論、全宇宙で
保存されている と考えられています。

No.5 回答者： stega 回答日時： 2018/06/30 02:16

ものを地面に落として、あれ？位置エネルギーどこいった？ っていう話ですね。

でも、興味深いですね。
C1=C2なら半分のエネルギーが消えるんですね。
C2→∞で全部消えるのかー。
なにか、理論立てられそうに思うのは、私も勘違いしてるのかな。

No.6 回答者： afilter 回答日時： 2018/06/30 18:59

皆さんが指摘されているように、次のようにていこうRを繋いで計算すれば良いですよ。

(1/C1)∫idt + (1/C2)∫idt +Ri= 0から
(1/C1 + 1/C2)i +Rdi/dt=0
1/C=1/C1 + 1/C2 と置けば、
CRdi/dt+i=0
初期条件　i0=V0/R　　であるから、
I=( V0/R)exp(-t/CR)
Rで消費されるエネルギをErで表せば、
Er=R(V0/R)^2∫[0～∞]exp(-2t/CR)dt=(1/2)CV0^2
= (1/2)(C1C2/(C1+C2))V0^2 *
となります。この値はRに関係してませんね。すなわち、Rをいくら小さくしてもエネルギーは変わらないということです。

ところで、別件ですが、V1,V2にそれぞれ充電されたC1,C2考えます。
この場合の、エネルギー和E0は
E0=1/2(C1V1^2+C2V2^2)
となります。C1,C2を直列接続すると、合成コンデンサのエネルギーE1は
E1=(1/2)C(V1+V2)^2=(1/2)C1C2(C1+C2) (V1+V2)^2
E1－E0=-1/(2(C1+C2))(C1V1-C2V2)^2
となり、E1－E0≦0　となります。特にV1+V2=0　すなわち同じ電圧に充電されたコンデンサを＋に充電された端子同士を接続して合成コンデンサ作ると、そのコンデンサに蓄えられたエネルギーは０となります。どうしてなんでしょうね。

No.7 回答者： stega 回答日時： 2018/07/01 00:55

自分の回答を読み返して、気付いたんですが、消えたのは、まさにポテンシャルエネルギーではないですか？

最初の状態から最後の状態になるために、消費されなければいけないエネルギーが消えています。
コンデンサの両端をつないではいけないという制約は、質量mの物体の高さをワープさせてはいけないという制約に似ているように感じます。

上述した、このポテンシャルエネルギーは、質問者さんの補足にもあるように初期の電圧と、直列合成容量の積の形で、表現できるようですね。

位置エネルギーの場合と比較すれば、電圧は重力mgで、直列合成容量は高低差Δhに 対応しそうです。すこし違うのは、重力加速度gに対応する量が高さ(合成容量)によって変化してそうだなということくらいです。

どの物理量どうしをどうゲージ変換できるかは、よく考えたら出てきそうですね。

No.8 回答者： stega 回答日時： 2018/07/01 01:11

afilter様の直列接続の場合は

hにあるmgと、-hにあるmgを質量0のヒモで結ぶというのに似てますね。
状態変化ないです。

No.9 回答者： stega 回答日時： 2018/07/01 14:11

∞、それは物理ではないですけど、数学としてそうしておこうということなら、それでいいかもしれませんが、物理はイメージが大事だと思うので、その結論はあまり好きではありません。

どちらかというと、「抵抗値の許される最小値は？」とかを追求したいほうです。
多分、特殊相対論が必要です。

No.10 回答者： stega 回答日時： 2018/07/01 14:23

抵抗値の許容範囲は、もしかしたら、マクスウエルだけでだせるかも