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-2、-1、1、2、3の数が書かれたボールが1個ずつ入っている箱がある。この箱からAさんがボールを取り出し、取り出したボールに書かれている数をmとする。そして取り出したボールを箱に戻す。次にBさんがこの箱からボールを1個取り出し、取り出されたボールに書かれている数をnとする。
このとき、m+n≦0になる確率を求めなさい。ただし、箱に入っているどのボールの取り出し方も同様に確からしいものとする。
こういう問題があるんですが、この場合、mが1、nが-1のときと、mが-1、nが1のときなどの、同じ数のときは区別するんでしょうか?
区別するときとしないときの定義がわからないので、教えてくださるとうれしいです。
説明下手ですみません。
よろしくお願いします。
A 回答 (6件)
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No.6
- 回答日時:
「A, Bが順番に取り出したんだから…」だとか、「ボールを取り出す場合は…」、いやさ「大抵この手の問題は…」のような、「問題の類似性に着目して、そのパターンに応じた『解き方』を憶える」というアプローチは、ちょっとひねった状況になると簡単に騙されるうえに、いっぱい勉強した割にちっともオリコウになりませんから、楽しくない。
もっと単純な場合について考えてみれば、迷わなくて済むでしょう。たとえば、
「-1, 1の数が書かれたボールが1個ずつ入っている箱がある。この箱からAさんが無作為にボールを取り出し、取り出したボールに書かれている数をmとする。そして取り出したボールを箱に戻す。次にBさんがこの箱から無作為にボールを1個取り出し、取り出されたボールに書かれている数をnとする。」
という設定で考えてみればいかがでしょう?あるいは
「偏りのないコインをトスする。裏が出たら1円もらえて、表が出たら1円払う。この勝負を2回行う」
というのでも同じ事です。
すると、(m+n)は{-2, 0, 2}の3通りだけである。だけど、この3通りがどれも同じ確率で生じるわけじゃないのはお分かりになるでしょう。0になる確率が1/2で、-2や2になる確率はそれぞれ1/4ですね。
てことはすなわち、「mが1、nが-1のときと、mが-1、nが1のとき」を区別して数え上げりゃいいんだな、というコトです。
この例をもうちょっとだけ深く考察しますと、
(1) ボールを取り出す操作の1回目と2回目(あるいはコイントスの1回目と2回目)は、一方の結果と他方の結果とが無関係です。(Bさんがどっちのボールを選ぶかは、Aさんが1のボールを選んだかどうかに影響されない。)だから(2通り)×(2通り)=4通りの場合が生じる。
(2) 2回の操作のどちらについても、2つのボールの選ばれやすさ(コインの裏/表の出やすさ)に偏りがないのだから、どの場合も同じ確からしさで生じる。
(3) 4通りのそれぞれについて得点(-2, 0, 2のどれか)を割当ててある。-2はある1通り(1,1)が生じた場合の得点、2は別の1通り(m,n)=(-1,-1)が生じた場合の得点、0はそれら以外の2通り(1,-1), (-1,1)のどちらかが生じた場合の得点である。
と、こう考えれば、(1)と(2)と(3)はそれぞれ無関係の別の話です。なぜなら、出題者は、(2)(3)はそのままに、(1)の代わりに「Aさんがボールを選び、そのボールを箱に戻さない。次にBさんがボールを選ぶ」という問題を作ることもできる。(1)(3)はそのままに、(2)の代わりに「1と書いてあるボールの方が-1と書いてあるボールより10倍選ばれやすい」という問題を作ってもいい。また、(1)(2)はそのままに、(3)の代わりに、各場合に割り当てる得点を(m+n)の代わりに(3m-n)とする問題も作れる。このように設問を勝手気ままに変更できるということは、(1)~(3)が互いに無関係ってことです。
つまり、これら3つの別の話が組み合わせられて問題になっているわけで、ですから、(1)の部分と、(2)の部分と、(3)の部分とを分けて、段階的に考えれば良いのです。
No.4
- 回答日時:
確率=(対象となる事象の数)÷(起こり得る全ての事象の数)です。
(対象となる事象の数)を操作する(例えば明らかに違うm1,n-1と
いう事象とm-1,n1という事象とを区別しないとする)と、分母に
なる(起こり得る全ての事象の数)についても操作が必要になります。
区別するかしないかは、起こり得る全ての事象をどう考えるか
で決めるしかないと思います。
この問題では、全ての事象の数を5×5=25通りと計算するのが
普通でしょう。そしてその中にはmが1、nが-1と、mが-1、nが1
とは別の事象としてカウントされています。従って確率計算する際は、
分子も区別しなければなりません。
No.3
- 回答日時:
こんばんわ。
mと nの「組合せ」について区別するのかしないのかということですね。
こういうときは、一度「母集団」をどう数えているかを考えてみると、
すんなりわかるときがあります。
母集団といっているのは、確率の計算で「分母」として計算している部分のことです。
いまの問題であれば、分母の計算は
5x 5= 25とおりと計算しますね。
この 5x 5というのは、
(m, n)= (-1, 1)と (m, n)= (1, -1)は別の組合せとして考えているはずです。
分子としてカウントするのは、母集団の中から当てはまる事象を選んでくるわけですから、
母集団としてどういう数え方をしているのかを考えてみるということです。
No.2
- 回答日時:
こういう問題があるんですが、この場合、mが1、nが-1のときと、mが-1、nが1のときなどの
>同じ数のときは区別するんでしょうか?
Aの取り出したボールをm,Bの取り出したボールをnとしているので区別します。
取り出し方は全部で、5×5=25通り
m+n≦0になるのは、
m=-2のとき、n=-2,-1,1,2の4通り
m=-1のとき、n=-2,-1,1の3通り
m=1のとき、 n=-2,-1の2通り
m=2のとき、 n=-2の1通り
計10通り
確率は10/25=2/5
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