円に内接している四角形の面積の最大値について

円に内接してる、四角形ABCDにおいて、AB=5 BC=3 ∠ABC=120°である
この四角形の面積の最大値を求めよという問題の解説で理解出来ないのがあります

画像が解説なのですが、対角線ACに下ろした垂線の長さが最大の時が面積も最大になる。
つまり外心を通るので、とあります。なぜ外心を通るのでしょうか？

外心を通る条件は、垂直二等分線だと思うのですが・・・・

No.5 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2012/03/17 12:41

余弦定理を習ってるなら、代数的に解いてしまえばよい。

1つの問題に、解法は1つではない。

余弦定理から、ＡＣ＝7.
△ＡＢＣ＝1/2×15×sin120°＝15√3/4　(＝一定)。従って、△ＡＣＤの面積が最大になると良い。
ＡＤ＝α、ＡＣ＝β　とすると　∠ＡＤＣ＝60°だから　余弦定理より　α＾2＋β＾2-αβ＝49‥‥(1)
△ＡＣＤの面積＝αβ/2×sin60°＝(√3)*(αβ)/2　よって、αβが最大になると良い。

ここからの方法は　3つや4つは　考えられるが、一番近道を行こう。

絶対不等式：α＾2＋β＾2≧2αβが成立するから　これに(1)を代入すると　αβ≦49　等号はα＝βの時。
△ＡＣＤの面積の最大値が　49√3/4だから　四角形の面積の最大値は　15√3/4＋49√3/4＝16√3.

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2012/03/17 03:16

質問の点については、

具体的な 120゜や 60゜の値に結びつけて考える必要は無いです。
△ABC が固定され、D は △ABC の外接円周上にあるので、
△DAC の面積が最大になるのは、D の AC に対する高さが最大になるとき、
つまり、DA=DC の二等辺三角形のときです。
二等辺三角形の頂角から底辺におろした垂線の足は、底辺の中点ですね。
ほら、「条件は垂直二分線」だったでしょう？

No.3 回答者： ferien 回答日時： 2012/03/17 01:05

対角線ACに下ろした垂線の長さが最大の時が面積も最大になる。

＞つまり外心を通るので、とあります。なぜ外心を通るのでしょうか？
∠ＡＤＣ＝６０度でなければならないから、弧ＡＣ上の６０度の円周角を考えたとき、
△ＡＤＣの垂線の長さが最大になるのは、円周角∠ＡＤＣでＤからおろした垂線が外心を通るとき、
ということではないでしょうか？

＞外心を通る条件は、垂直二等分線だと思うのですが・・・・
今の場合は、あまり関係ないと思います。

でどうでしょうか？

No.2 回答者： ennalyt 回答日時： 2012/03/17 00:51

点A, Cの位置が固定で、

あと一つの頂点の位置を決めて三角形を作るんですよね。

面積が最大になるのは、線分ACを底辺とする二等辺三角形でしょう。

ここで、∠ABC=120°なので、∠ADC=60°
(円に内接する四角形の対角の和は180°)

よって、△ADCは正三角形になります。

これで外心になるよね。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/03/17 00:24

直線AC を「外接円と交点を持つ」という条件でどこまで動かせるかというと, 直線が円と接するところまで動かすことができます. んで

, 「直線と円が接する」ということは, 接点を通る半径は直線と直交します.