数学基礎～判別式～

Question

ｘ＾２＋２（２ｘ）＋３＝０

のような形の二次方程式において、判別式をおく際に

D/2＝b^2-ac

と、こう書いた場合ｂ＝２ということを書く必要はありますか？

書かないとｂ＝２（２）とも見れるからです。

回答お願いします！

alice_44 · Accepted Answer

そもそも、「二次方程式の判別式」というのが変。
方程式は両辺に同じ数を掛けても同値だから、
方程式に対して定義される量ならば、両辺を
定数倍しても同じ値にならなければならないが、
判別式はそうなっていない。判別式は、
方程式ではなく多項式に対して定義される。
正しくは、「二次多項式の判別式」というはず。
その上で、二次式 axx+bx+c の判別式は bb-4ac。
判別式を D と置き、b=2b' であれば、確かに
D/4=(b')2乗-ac だけれど、その場合も
判別式はあくまで D であって、D/4 ではない。
D/4 は、ただ D と同符号だというだけだ。

Tacosan · Answer

本当は「定義されたもの」だけを使って書くのが正しい. つまり, a, b, c がそれぞれ何であるかを与えてから
b^2-ac
がど～たらこ～たらとすべき.

ところで, D/2 を計算する必然性が思い付かないんだけど....

asuncion · Answer

＞D/2＝b^2-ac

bが偶数だから、b=2b'（b'=2）とおいて
D/4=b'²-ac
の形に書けるということであって、D/2という式はどこにも出てこないはずです。

alice_44 · Answer

これは、二次式がどうだとか、判別式がどうだとか
いう問題ではありません。
数学の議論の中で a,b,c という記号を使うのなら、
a,b,c が何なのか、定義してからでないといけません。
判別式だから axx+bx+c だろうとか、
bb-ac だから axx+2bx+c だろうとか、
そういう当て推量は、数学とは無縁のものです。
b=2 なのか b=4 なのかは、bb-ac から判断
するのではなく、使う人が意志により決めて、
それを明示してから使うのです。

KEIS050162 · Answer

「ｂ＝２ということを書く必要はありますか？」
の意味するところが良く分かりませんが、既に回答のある通り、使う記号については定義がなされなければなりません。

問題として求められている解答は、判別式を書け、ということでしょうか？

そうであれば、単に　２＾２－３　ですし、その値は　１　になり、　＞０　の条件に当てはまるので、異なる２つの実数解を持つ、という条件になります。
ａ，ｂ，ｃなどの記号で回答する必要もなく、即ち定義をする必要もないと思います。求められている解答によります。

以下は、蛇足です。

問題なのは、そもそもその式の意味するところが理解できているか、という点でですね。公式を丸暗記して、数字を代入すれば答えが出る、というやり方をしていると、いずれ無理が出てきます。公式の意味を理解すれば暗記などする必要はなくなります。

たとえば、
ａｘ＾２＋ｂｘ＋ｃ＝０　の判別式が　　Ｄ　＝　ｂ＾２－４ａｃ　であることが、まずなぜそうなのかを理解し、その上で、

ｘの一次の係数ｂが偶数の時、即ち

ａｘ＾２＋２（ｂ’ｘ）＋ｃ＝０の判別式を　Ｄ／４　＝　ｂ’＾２－ａｃ　として簡略化出来る、という具合に理解していれば、特に迷うこともないと思います。
（ただしｂ’は整数でｂ＝２ｂ’）

さらに、なぜ判別式Ｄがその様に表せるかということも、解の公式から、ｘが実数解を持つためには、√内が正である必要があるというところから来ていることを考えれば、判別式の公式を丸暗記する必要もありません。

解の公式　ｘ　＝　{－ｂ±√（ｂ＾２－４ａｃ）}／２ｂ

ついでに解の公式も

ａｘ＾２＋ｂｘ＋ｃ＝０　を平方完成して、
ａ（ｘ＋ｂ／２ａ）＾２－（ｂ＾２－４ａｃ）／４ａ　＝　０
ｘ＋ｂ／２ａ　＝　√（ｂ２－４ａｃ）／２ａ

から導かれることを理解しておけば、これも覚える必要はありません。

質問に「数学基礎」と書いてありましたので、この機会に丸暗記ではなく、基礎しっかり固めておかれると良いでしょう。

ご参考に。

alice_44 · Answer

←A No.3 補足
その「定義」が、問題文中に書いてあるなら、
答案に断りなく使っても、差し支えありません。
教科書や問題集の同じ章に書いてあった
とかいうのでは、ダメです。
文字の使用については、概ね、
方程式で何を x と置くかと同じと思えばいい。
前の問題で食塩水の濃度を x％ と置いてたから、
この問題でも黙って x％  を使う…
というのは、通用しませんね？
何を x と置いたか明示する必要があります。
a,b,c も、D でも、同じことです。
「判別式を D と置く」の一文が必須
であることも、併せて理解しておくとよいです。

KEIS050162 · Answer

文字式の場合、何を定義したか、という件は、＃５さんの解説の通りです。

ただ、それでも”ｂ＝２と置く”と、いきなり書くのは違和感があるので、こういう風に説明してみてはいかがでしょうか。

ｘの二次方程式において、一次の係数が偶数の時、

二次関数　ａｘ＾２＋２ｂｘ＋ｃ＝０　（ｂは整数）　の判別式Ｄは、Ｄ／４＝ｂ＾２－ａｃで表すことができる。

従って与式の判別式は、

（ここで、”ａ＝１、ｂ＝２、ｃ＝３となる”と書いても良いですが、くどいので上の説明だけ書けば、割愛しても良いでしょう。）

２＾２－３　＝　１

となる。

KEIS050162 · Answer

ｘ＾２＋４ｘ＋３＝０の判別式をＤとするとＤ＝４＾２－４・１・３　　　…(1)

この解答例にならって、ｘ＾２＋２（２ｘ）＋３＝０　の判別式を書くのであれば、

ｘ＾２＋２（２ｘ）＋３＝０の判別式をDとすると、（ｘの一次の係数が偶数なので）Ｄ／４＝２＾２－１・３　…　(2)

で十分です。（）の部分はやや冗長なので書いても書かなくても良いでしょう。Ｄ／４と書いた時点で意図は伝わります。

解答というより、解説なので、こう書かなくてはならないという決まりはないですが、必要なことは書かなければならないですし、不要なことは書くべきではないです。

たとえば、

ｘ＾２＋２（２）ｘ＋３＝０の判別式をＤ/４＝ｂ＾２－acとする。ただし、ｂ＝２である。　　…　(3)

と書いた場合のまずい点は、ａ，ｂ，ｃが定義されていないことです。即ち、書かなくても良かったのに、中途半端に書いてしまった為に、必要なことが書かれていない状態になってしまっています。（これは各解答者の方が散々説明している内容ですので、もう一度解答を良く読んでください。）

次に、二次方程式をａｘ＾２＋ｂｘ＋ｃ＝０　と　”定義した”という前提であったとしても、ｂ＝２　にこだわりすぎています。
ｂ＝２と書くなら、ａ＝１、ｃ＝３も書かないとバランスが悪いですし、ｂ＝２しか書かないことにより、この判別式が、実際は偶数なら何でも良いのにも関わらず、ｂ＝２の時しか成り立たないという誤解を招きます。即ち、不要な部分になります。

結果、上に書いた(2)の解答例がシンプルで良いと思います。

どうしても、ｘの一次の係数がが偶数であるので簡略化した判別式で計算をした、という説明を書きたい場合、もしくは判別式の公式を明記したい（これは公式なので定義することではありません）のであれば、＃６に書いた解答が適していると思います。

ご参考に。

またまた、蛇足ですが、そもそも判別式は何のためのものか、という点を理解してください。Ｄは＜０か、＞０か。＝０かが分かれば良く、それはＤでもＤ／４でもどっちでもよいことなのです。Ｄ／４というのは、こうすれば、計算が簡単になりますよ、という単なる工夫なので、元の判別式、さらにはその意味、その導き方を理解することの方が、何十倍も重要なことですよ。

alice_44 · Answer

解答のしかたにはイロイロあってよいのだけれど、
用語だけは正確に使わないと。
二次多項式 axx+2b'x+c の判別式は (2b')2乗-4ac
であって、(b')2乗-ac ではありません。
判別式 D に対して、D/4 も符号は同じだけれど、
「判別式」と呼ぶのは判別式のほうだけです。

数学基礎～判別式～

本当は「定義されたもの」だけを使って書くのが正しい. つまり, a, b, c がそれぞれ何であるかを与えてから

この回答への補足

＞D/2＝b^2-ac

この回答への補足

これは、二次式がどうだとか、判別式がどうだとか

「ｂ＝２ということを書く必要はありますか？」

←A No.3 補足

文字式の場合、何を定義したか、という件は、＃５さんの解説の通りです。

ｘ＾２＋４ｘ＋３＝０の判別式をＤとするとＤ＝４＾２－４・１・３ …(1)

解答のしかたにはイロイロあってよいのだけれど、

そもそも、「二次方程式の判別式」というのが変。

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