楕円にそった複素積分

複素積分の問題でこの問題がわかりません
次の曲線Ｃに沿って次のf(z)の積分を計算せよ
f(z)=Z^2
曲線C:(x/a)^2+(y/b)^2=1（この楕円の上半分）
（-a,0)とＣのとの交点をA,(a,0)とＣとの交点をBとしB→Aにそう積分です

この問題が分かりません
おそらく円の時はz=re^iΘとおいて積分するので楕円もこのように何らかの方法で置き換えると思うんですが、どうやって置き換えればいいのか分からないので分かる方、教えていただけると助かります

No.4 ベストアンサー 回答者： siegmund 回答日時： 2012/04/08 18:26

一番簡単なのは，AからBへ実軸上を通る径路 C' を考えることでしょう．

(1)　　∫_{C'} f(z) dz = ∫{-a → a} f(x) dx
は即座に計算出来ます．
また，C+C' は閉径路で，
この径路内で f(z) は正則です(というか，複素平面全体で正則)から．
(2)　　∫_{C+C'} f(z) dz = ∫_C f(z) dz + ∫_C' f(z) dz = 0
(1)(2)より ∫_C z^2 dz は直ちに求められます．

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2012/04/08 13:52

閉路積分でしょう？

f が正則だから、そもそも計算する必要がない。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC% …

No.2 回答者： NemurinekoNya 回答日時： 2012/04/08 01:49

送ってから気づいたのですが、z=re^(iθ)の型式にわざわざなおして計算するより、定義にしたがって三角関数のまま積分した方が楽な気も…

∫[Cに沿って積分]z^2dz
=∫[Cに沿って積分](x+iy)^2d(x+iy)
=∫[0→π](acosθ+ibsinθ)^2*(d(acosθ+ibsinθ)/dθ)dθ
=∫[0→π](acosθ+ibsinθ)^2*(-asinθ+ibcosθ)dθ

この回答へのお礼

よくわかりました
とりあえず楕円はacosΘ+isinΘとおくことが問題を解くポイントですね
最後まで計算しようとしましたが式がものすごく長くて萎えましたけどまあそれは高校数学の範囲なので最初分かっただけでも嬉しいです

お礼日時：2012/04/09 10:57

No.1 回答者： NemurinekoNya 回答日時： 2012/04/08 01:29

z = acosθ + ibsinθ = a(cosθ + isinθ) + i(b-a)sinθ

e^(iθ) = cosθ + isinθ
isinθ = (e^(iθ)-e^(-iθ))/2
z = ae^(iθ) + (b-a)(e^(iθ)-e^(-iθ))/2
かな。
計算間違っていたら、ごめんなさい。