a枚のカードから1枚をひっくり返す作業をn回繰り返

a枚のカードがあり、それぞれの表面には1、2、3、…、aの数字が書かれています。
裏面には、表面のマイナスの数字が書かれています。
今、すべてのカードは表が上になっています。

a枚のカードの中から自由に1枚を選び、ひっくり返します。
さらに、a枚のカードの中から自由に1枚を選び、ひっくり返します。
同じカードであっても、別のカードであってもかまいません。
このひっくり返すという作業をn回繰り返したとき、a枚のカードの上の数字の合計の期待値はどのようになるのでしょうか？

No.6 回答者： nag0720 回答日時： 2012/05/01 22:32

No.5＞＃１さんの答えも＃２さんの答えもa=10、n=1のときの期待値が違うようですが？

a=10、n=1のときは、
1の数字のカードをひっくり返したとき、-1+2+3+・・・+10=53
2の数字のカードをひっくり返したとき、1-2+3+・・・+10=51
3の数字のカードをひっくり返したとき、1+2-3+・・・+10=49
・・・・・・・・・・
10の数字のカードをひっくり返したとき、1+2+3+・・・+9-10=35
期待値は、(53+51+49+・・・+35)/10=(53+35)×5/10=44

＃１、＃２の式では、
a(a+1)(1-2/a)^n/2=10×11×(1-2/10)/2=44

一致してします。

No.5 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/05/01 22:03

＃１さんの答えも＃２さんの答えもa=10、n=1のときの

期待値が違うようですが？

No.4 回答者： nag0720 回答日時： 2012/05/01 20:13

No.3＞A No.2 に一票。

No.2の回答は、E(S(n))=S(0)*((a-2)/a)^n=a(a+1)(1-2/a)^n/2　がa=1,2のときでも成立することを言っているだけじゃないの？


No.3＞x_a が k 回ひっくり返る確率は (nCk)/(a^n) だから、

Σ[k=0～n](nCk)/(a^n)=1　が成り立っていないんだけど。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2012/05/01 18:51

A No.2 に一票。

(ただの、後追い回答です。)

a 枚のカードの数を 1 ～ a に限定せず、
x_1 ～ x_a の a 個の変数としてみる。
x_i のカードが k_i 回ひっくり返されると、
カードの数の和は Σ[i=1～a] x_i (-1)^k_i になる。
カードを n 回ひっくり返す操作 a^n 通りのうち、
そうなる場合の数は n!/(k_1 ! k_2 ! … k_a !) 通り
だから、問題の期待値 E は、
E = Σ[*] ( n!/(k_1 ! k_2 ! … k_a !) )/(a^n) Σ[i=1～a] x_a (-1)^k_i
= { Σ[*] ( n!/(k_1 ! k_2 ! … k_a !) )(-1)^k_i } (a^-n) { Σ[i=1～a] x_a }
と整理できる。ここで Σ[*] は、n の分割
k_1 + k_2 + … + k_a = n, k_i≧0 に関する総和を表す。

この式の Σ を計算するのは面倒くさいが、
x_i = 0 (i<a), x_a = 1 の場合を考えると
x_a が k 回ひっくり返る確率は (nCk)/(a^n) だから、
E = Σ[k=0～n] { (nCk)/(a^n) } (-1)^k
= { Σ[k=0～n] (nCk)(-1)^k } (a^-n)
= (1 - 1)^n (a^-n)　　 ← 二項定理
= 0
となる。よって、
Σ[*] ( n!/(k_1 ! k_2 ! … k_a !) )(-1)^k_i = 0
であることが判り、任意の x_1 ～ x_a に対して
E = 0。 もちろん、1 ～ a のカードでも。

←A No.1
1 回の操作でひっくり返すカードは 1 枚だから、
各カードを独立に扱うことはできない。

No.2 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2012/05/01 17:42

最初の状態の合計値をS(0)=(a+1)*a/2　として　n回試行後の合計値S(n)の期待値は

E(S(n))=S(0)*((a-2)/a)^n　です
a=1の時 E(S(n))=1*(-1)^n
a=2の時 E(S(n))=3*(0)^n=0
でも成立します。