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No.6
- 回答日時:
No.5>#1さんの答えも#2さんの答えもa=10、n=1のときの期待値が違うようですが?
a=10、n=1のときは、
1の数字のカードをひっくり返したとき、-1+2+3+・・・+10=53
2の数字のカードをひっくり返したとき、1-2+3+・・・+10=51
3の数字のカードをひっくり返したとき、1+2-3+・・・+10=49
・・・・・・・・・・
10の数字のカードをひっくり返したとき、1+2+3+・・・+9-10=35
期待値は、(53+51+49+・・・+35)/10=(53+35)×5/10=44
#1、#2の式では、
a(a+1)(1-2/a)^n/2=10×11×(1-2/10)/2=44
一致してします。
No.4
- 回答日時:
No.3>A No.2 に一票。
No.2の回答は、E(S(n))=S(0)*((a-2)/a)^n=a(a+1)(1-2/a)^n/2 がa=1,2のときでも成立することを言っているだけじゃないの?
No.3>x_a が k 回ひっくり返る確率は (nCk)/(a^n) だから、
Σ[k=0~n](nCk)/(a^n)=1 が成り立っていないんだけど。
No.3
- 回答日時:
A No.2 に一票。
(ただの、後追い回答です。)a 枚のカードの数を 1 ~ a に限定せず、
x_1 ~ x_a の a 個の変数としてみる。
x_i のカードが k_i 回ひっくり返されると、
カードの数の和は Σ[i=1~a] x_i (-1)^k_i になる。
カードを n 回ひっくり返す操作 a^n 通りのうち、
そうなる場合の数は n!/(k_1 ! k_2 ! … k_a !) 通り
だから、問題の期待値 E は、
E = Σ[*] ( n!/(k_1 ! k_2 ! … k_a !) )/(a^n) Σ[i=1~a] x_a (-1)^k_i
= { Σ[*] ( n!/(k_1 ! k_2 ! … k_a !) )(-1)^k_i } (a^-n) { Σ[i=1~a] x_a }
と整理できる。ここで Σ[*] は、n の分割
k_1 + k_2 + … + k_a = n, k_i≧0 に関する総和を表す。
この式の Σ を計算するのは面倒くさいが、
x_i = 0 (i<a), x_a = 1 の場合を考えると
x_a が k 回ひっくり返る確率は (nCk)/(a^n) だから、
E = Σ[k=0~n] { (nCk)/(a^n) } (-1)^k
= { Σ[k=0~n] (nCk)(-1)^k } (a^-n)
= (1 - 1)^n (a^-n) ← 二項定理
= 0
となる。よって、
Σ[*] ( n!/(k_1 ! k_2 ! … k_a !) )(-1)^k_i = 0
であることが判り、任意の x_1 ~ x_a に対して
E = 0。 もちろん、1 ~ a のカードでも。
←A No.1
1 回の操作でひっくり返すカードは 1 枚だから、
各カードを独立に扱うことはできない。
No.2
- 回答日時:
最初の状態の合計値をS(0)=(a+1)*a/2 として n回試行後の合計値S(n)の期待値は
E(S(n))=S(0)*((a-2)/a)^n です
a=1の時 E(S(n))=1*(-1)^n
a=2の時 E(S(n))=3*(0)^n=0
でも成立します。
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