メルカトル図法での大圏コースの書き方

メルカトル図法における2点間の最短距離を結ぶ大圏航路（大圏コース）の書き方を教えて下さい。

この曲線は、円弧なのでしょうか？
だとしたら、メルカトル図法の地図中の中心の位置や半径はどうやって求められるのでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： chibityan 回答日時： 2012/06/05 19:57

貴方が今学生なのか、大人(例えば知識人)なのかは判りませんが......でも質問中、「円弧なのですか?」で大体判りますが、取り敢えずこちら、

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A1%E3%83%AB% … 私ははっきり言ってANo.3さんの仰っていらっしゃることは丸で判りません、上記URLとANo.3さんの式、どう見ても違うんですけれどぉ.........

グーデルマン関数、ランベルト関数、リーマン和etc.御存知なんでしょうか?どうも此れ等を駆使しなければ駄目なようですよ......、改めて「数学カテゴリィ」で再質問されたら如何でしょうか?勿論、グーデルマン・・・・・・・・以下の説明を盛り込んで下さい、文系レベルの話では所詮ないでしょう........。

参考URL：http://oshiete.goo.ne.jp/qa/4386825.html

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
難しいということは大変よくわかりました。

お礼日時：2012/06/06 23:27

No.3 回答者： momordica 回答日時： 2012/06/03 01:30

この質問を見かけてちょっと気になっていたので、少し考えてみました。

まず、地球上の2地点間を結ぶ大圏航路というのは、メルカトル図法で円弧にはなりません。
地図上でその2地点の間だけをみると円弧のように見える場合もあるかと思いますが、
実際は地球を一周する大円の一部ですから、その1周分の航路を地図上で描くと、
円ではなく正弦曲線（y=sinxのグラフ）に良く似た曲線になります。

例えば、本初子午線と赤道の交わる地点から北東へ向かって大圏航路に添って進むと、
地図上では緩やかに角度を変えながら東経90度までは北上し、その後は南下して
出発地点のちょうど地球の裏側に当たる経度180°の時に再び赤道と交わり、さらに
西経90度までは南下を続け、その後は再び北上し、経度0度でまた出発地点の赤道に
もどります。

2地点間を結ぶ大圏航路は、このような曲線の一部なので、一般には円弧ではあまり
良い近似にならないと思います。


実際に、(経度, 緯度) が (a1, a2), (b1, b2) である二地点 A, B を結ぶ大圏航路を考えてみます。
ちなみに、これ以後、角度はすべてラジアンで、経度は東経が正で西経が負、緯度は北緯が
正で南緯が負です。

この大圏航路上で経度がｘとなる地点Pを考えます。

　f[x]=tan[a2]*sin[x-b1]/sin[a1-b1]+tan[b2]*sin[x-a1]/sin[b1-a1]

とすると、地点Pの緯度yは

　y = arctan(f[x])

となります。
また、その地点Pのメルカトル図法の地図上での位置を (x, Y) とすると、

　Y = log(√(1+(f[x])^2)+f[x])

となります。logは自然対数です。
この方程式の描く曲線がメルカトル図法上の大圏航路です。
形は正弦曲線とよく似ていますが、それと比べると高緯度でやや縦に縮まっています。

計算ミスなどがあったらすみません。
しかしまあ、メルカトル図法上の大圏航路は以上のように三角関数や対数関数を組み合わせて
表現される曲線を描くということに関しては間違いないはずです。
地図上に大圏航路を描きたいなら、コンピュータに任せて描かせるか、または航路の通る地点を
他の図法の地図や地球儀上で確認するか、あるいは計算で求めるかして、地図上にいくつか
プロットして、それを結んで航路の概形を描けば良いでしょう。
別に特殊な大型コンピュータが必要になるような大掛かりな計算ではありません。
ただ、残念ながら、円弧ほど単純な曲線ではありません。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
エクセルで試してみたいと思います。

お礼日時：2012/06/03 21:37

No.2 回答者： okwaveko 回答日時： 2012/06/01 03:42

ANo.1続き

既にして先の論文御読みなら十分理解出来るのでは? 少なくとも正円の円弧には成らない(地球儀上では円弧でしょうが)事は私にも理解は出来ますが......
其の為に、論文中のlog、∫、三角関数etc.を駆使して計算してるんじゃないのですか?
そもそも、球体である地球(xyz座標)を一枚の紙(xy座標のみ)で表そうとゆう事自体無理が在るのは御承知でしょう?だから簡便的に対数、三角関数等を応用して地球儀上の最短距離を一枚の紙に表す、直線的な繋がりの物を滑らかな曲線の様に表現している丈けなんでしょうね?!

円だって、正n角形(n=∞)の直線を無限に集めて往ったら正円に成るんでしょう、確か?

だから、論文中でも等角航路は簡単に説明出来ても(簡単に地図上では直線で書き表せるから)、but、大圏航路に就いては明確な記載が出来無いのは多分大型コンピューターを駆使でもしなければ無理だからなんでしょうね。

気付いた事が在れば、又、書き足します。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
触れられないから、触れてないということのようですね。
勉強になりました。

お礼日時：2012/06/02 01:22

No.1 回答者： okwaveko 回答日時： 2012/05/31 23:44

こんばんは、

今回は全く以ってお恥ずかしいの一言に尽きます、「何が」って、軽～い気持ちで数行書いて居る中(うち)に、偶々(たまたま)次のページに出くわしてしまったからです http://fujiyamao.la.coocan.jp/0mer/01.htm 、中途半端な私の回答ではとんでもない事に成りそうです、1組、2組、3組、4組、6組其々(それぞれ)の考え方が展開されて居ます、増々判らなく成りました、兜(かぶと)脱ぎます、丸写しですが御許し下さい、でも貴方は未だ若そうですので是非、読破してみて下さい、御願い致します(恥)。

流石に、log、∫、三角関数..........etc.は忘れてしまって居ます、本当に御免なさい!!是非、素晴らしい図を完成させて下さい。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
実は、リンクページすでに読んでいました（十分分かってはいませんが。。。）
等角航路の話は、ボチボチ分かったのですが、大圏航路の方がすっきりせず、質問させて頂きました。

お礼日時：2012/06/01 02:23