数学の集合論（同値類）

「商集合Fは、一つの元を持つ同値類から成る
⇔商集合Fは単射」

を証明する問題が分かりません。


どなたかお力添えをお願いします。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/05/29 15:10

なんというか, 独特な表現だなぁ....

・「商集合」とは何か
・「商集合が一つの元を持つ同値類から成る」とはどういう意味か
・商集合はどんな条件を満たすときに「単射」なのか
を書いてください.

この回答への補足

すみません。英文を訳し間違えていました。

「写像Fの商集合が、それぞれ一つの元を持つ同値類からなる
⇔写像Fは単射である」

補足日時：2012/05/29 16:14

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/05/29 17:18

・「写像Fの商集合」とはなんでしょうか?

・「写像Fは単射である」ことの定義は?

No.3 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2012/05/30 17:58

　予想ですけど、写像の標準分解の話だと思いました。

　「写像Fの商集合」とは、Ｆ：Ｘ→Ｙとしたとき、Ｘの像Ｆ(Ｘ)⊂Ｙに属する、各y∈Ｆ(Ｘ)の逆像Ｆ^(-1)(y)⊂Ｘの全体の事でしょう。ここでＦ^(-1)(y)は、Ｆの逆写像Ｆ^(-1)の、y∈Ｆ(Ｘ)に関する値を表すのでは「なく」、y∈Ｆ(Ｘ)に写像してくるx∈Ｘを集めた、Ｘの部分集合Ｆ^(-1)(y)⊂Ｘの事です。

　　※　Ｆ^(-1)(y)は本来、Ｆ^(-1)({y})と書くべきものですが、面倒なのでＦ^(-1)(y)と、よく略記されます。

　x，z∈Ｆ^(-1)(y)としたとき定義から、Ｆ(x)＝y＝Ｆ(z)が成り立ちますよね？。そして関係Ｒ、

　　Ｒ：　Ｆ(x)＝Ｆ(z)（x，z∈Ｘ）

が、Ｘ上の同値関係になる事は、すぐわかります。

　逆にＲによる同値類Ｆ^(-1)(y)が一点集合なら、yの逆像の意味から、Ｆが単射なのは明らかですよね？。たぶん証明は、「頭の体操」程度です・・・(^^)。


　　※　Ｒによる同値類でＸを分割し、Ｘ上の商集合Ｚを考え、写像Ｆを、

　　　　　　Ｆ＝　ｉ○φ○ｊ　：　Ｘ→Ｚ→Ｆ(Ｘ)→Ｙ　（○は合成写像の意味）

　　　　と分解する事を、写像の標準分解と言います（ちょっと古いかも知れませんが）。xの属する同値類をc(x)とすれば、

　　　　　　ｊ：　x→c(x)　は明らかに全射（標準全射）

　　　　　　ｉ：　c(x)→y　は明らかに単射（標準単射）

　　　　になり、

　　　　　φ：　c(x)→y∈Ｆ(Ｘ)

　　　　は、明らかに全単射（双射）です。φを包含写像（標準双射）と言う時もあります。

No.4 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2012/05/30 18:02

　#3です。

すいません、間違えました。

　　ｉ：　y∈Ｆ(Ｘ)→y∈Ｙ　は明らかに単射（標準単射）

でした・・・。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
元の問題は

The quotient set of F consists of classes each of which has one element if and only if F is injective.

です。訳し間違えていないでしょうか？

補足日時：2012/05/30 19:26

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/05/31 10:30

私が (あるいは #3 が) 気にしているのはそこではありません.

「写像Fの商集合」がどのように定義されているのか, です.

No.6 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2012/06/01 11:05

　#4です。

訳し間違えてはいないと思います。

　#3（と#4）で私が言いたかった事は、#3（と#4）で述べたような背景のもとに、この定理は出て来たのでないか？、という事です。なので、

＞「写像Fの商集合」がどのように定義されているのか, です

になります。上記がはっきりすれば、解決すると思うからです。どこかに（定理の前とかに）、書いていませんか？。

この回答への補足

とくに書いてなかったため、自分で次のように定義しました。

F:S(∈∀x,y)→T

F: inj
F(x)=F(y)→x=y

同値関係
x～y⇔F(x)=F(y)

同値類
[x](∈S/～)={y|x～y}

補足日時：2012/06/01 12:31

No.7 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2012/06/01 13:12

　#6です。

書いてないんですか・・・。どういう状況で、

＞「写像Fの商集合が、それぞれ一つの元を持つ同値類からなる　⇔　写像Fは単射である」

が出て来たんでしょうか？。


　それはともかく、#4の補足のように定義すれば、筋は通りますよね？。「F:S(∈∀x,y)→T」の意味はわかりませんでしたが・・・。injection（単射），同値関係，同値類，商集合の定義は、当然ご存知のように見えます。

　もうわかったも同然と思えるのですが、そうでないなら、たんに慣れてないだけだと思います。その時は、言って下さい。