等差数列 初項と公差を求める問題

どうしても解けません。考え方をお教え下さい。

第２項が５で、初項から第１２項までの和が４３８である。初項と公差を求めよ。


チャートにもこの様な問題はなく、解けませんでした；；

No.7 ベストアンサー 回答者： suko22 回答日時： 2012/07/12 18:12

等差数列の初項をa、公差をdとすると、第n項anは、

an=a+(n-1)d（公式）

初項から第n項までの和Snは、
Sn=n(a+an)/2（公式）

この2つの公式に条件を当てはめれば簡単に答えはでますよ。
やってみます。

第2項が5より、
a2=a+(2-1)d=5
より、a+d=5

初項から第12項までの和が438より、
S12=12(a+a12)/2=438
12{a+a+(12-1)d}/2=438
2a+11d=73

上記2式の連立方程式を解くと、
a=-2,d=7

よって初項-2、公差7。

これは等差数列の基本問題です。
Snの意味が初項から第n項までの和を表している、といこうとがわかっていれば、
だた公式に当てはめるだけって気づけると思います。

基本問題のレベルならば、等差数列は公式に当てはめるだけ、またはちょっと公式の使い方を
工夫するだけで解けてしまいます（公式の意味をしっかり理解していることが前提です。上記で
説明したSnの意味等）。問題のパターンは限られているので、教科書、学校の問題集などで
パターン演習すればよいと思います。

頑張ってください。

この回答へのお礼

御助言ありがとうございます。
公式をしっかり押さえておりませんでした。
公式と問題のパターンを押さえるよう勉強していきます！ありがとうございました。

お礼日時：2012/07/12 18:19

No.6 回答者： floriography 回答日時： 2012/07/12 17:54

初項をａ　公差をｄとおくと

第２項はａ＋ｄですから　ａ＋ｄ＝5
初項から第ｎ項までの和は　n{2a+(n-1)d}/2なので
第１２項までの和は　6(2a+11d)=438
ａ＋ｄ＝5　と　6(2a+11d)=438　から
a+d=5→2a+2d=10・・・(1)
6(2a+11d)=438→2a+11d=73・・・(2)
(2)から(1)を引くと　9d=63→d=7
d-7をさっきのa+d=5に入れてやるとa=-2

なので、初項-2　公差7

この回答へのお礼

そちらの和の公式をすっかり忘れておりました。
御回答ありがとうございました！

お礼日時：2012/07/12 18:15

No.5 回答者： ferien 回答日時： 2012/07/12 17:52

ANo.4です。

済みません。間違えました。
＞ａ5＝ａ＋（５－１）・ｄ＝５
ではなくて、第２項だから、
ａ2＝ａ＋（２－１）・ｄ＝ａ＋ｄ＝５　です。

No.4 回答者： ferien 回答日時： 2012/07/12 17:47

＞第２項が５で、初項から第１２項までの和が４３８である。

初項と公差を求めよ。
初項ａ、公差ｄとすると、公式に当てはめるだけです。
ａ5＝ａ＋（５－１）・ｄ＝５
等差数列の和の公式より、
Ｓ12＝(１２／２）｛２ａ＋（１２－１）・ｄ｝＝４３８
これを連立方程式で解けばいいです。

この回答へのお礼

もう一方の和の公式だけを考えていたため解けませんでした。
御回答ありがとうございます！

お礼日時：2012/07/12 18:14

No.3 回答者： asuncion 回答日時： 2012/07/12 17:44

まあ、確かに、数学は暗記科目ではないですからね。

もちろん、重要ないくつかの公式は暗記しておく必要はあると思いますけれど。

で、条件に従って式を書くと（初項をa1,公差をdとする）、
a1 + d=5 …… (1)
12/2(2a1 + 11d)=438 …… (2)

(1)式の意味は、第2項（つまり初項の次）は、初項に、公差を「1回だけ」加えた値である。
(2)式の左辺は、等差数列の和の公式（これは覚えておく必要がありそうです。もしくは、自分で導けるようにしておくか）に、
項数=12を当てはめた結果です。

(2)より、
2a1 + 11d=73 …… (3)
(3) - (1)×2より、
9d=63
d=7
(1)に代入して、a1=-2
∴初項=-2, 公差=7

【検算】
a2=-2+7=5
a3以降を、今回はゴリゴリ求めてみます。
a3=12, a4=19, a5=26, a6=33, a7=40, a8=47, a9=54, a10=61, a11=68, a12=75
a1～a12の和=-2+5+12+19+26+33+40+47+54+61+68+75=438

この回答へのお礼

御丁寧に御回答頂き有難うございます。
暗記に頼りがちでした・・・・。
どうやら和の公式を一方しか覚えていなかったようです；；

お礼日時：2012/07/12 18:12

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/07/12 17:44

#1 の言うとおり.

「考え方」としては
1. 問題に書いてあることを式にして方程式を導く
2. 解く
(3. 正しいことを確認する)
だろうなぁ.

No.1 回答者： Tita_Russel 回答日時： 2012/07/12 17:29

教科書見て公式を使って解きましょう。

初項と公差という意味さえ分かれば、
私立中学を受験する子供にでも解けますよ。見た事のない問題ならば解けないというのは
考える力が麻痺しています。暗記に頼るのは辞めましょう。

この回答へのお礼

おっしゃる通りでした。暗記に頼らない勉強法を身につけようと思います。

お礼日時：2012/07/12 18:09