f(x)=x^x+e^e の微分

正答と自分のだした答えが合いません。　答えに導き出す方法を教えてください。

自分でやったところ↓
f(x)=x^x+e^e
log f(x)=log x^x+log e^e
=xlogx+eloge
f '(x)/f(x)=logx+x/x+0
f '(x)=(logx+1)(x^x+e^e)

と自分で出したのですが、正答は↓
f '(x)=(logx+1)(x^x)
と出ています。

自分の答えからどのような過程で正答にたどり着けますか？

No.1 回答者： noname#161651 回答日時： 2012/10/01 15:59

先生に合っているか聞いてみるのはどうでしょうか。

たまに正答が間違っている、ということもあるので。

私も解いてみたのですが、あなたと同じ答えになってしまい、教えられないので・・・。

No.2 回答者： suko22 回答日時： 2012/10/01 16:02

＞f(x)=x^x+e^e

＞log f(x)=log x^x+log e^e

ここの変形がおかしいですよ。

log(A+B)≠logA+logB

正しくはlogAB=logA+logB

だからf(x)-e^e=x^xとしてみてはどうですか？

No.3 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/10/01 16:26

x^x=f-e^e

と書き直し，両辺の自然対数logをとります．

xlogx=log(f-e^e)

両辺をxで微分して，

x'logx+x(logx)'=(f-e^e)'/(f-e^e)
logx+x(1/x)=f'/(f-e^e)

ここでf-e^e=x^xを思い出すと，

logx+1=f'/x^x∴f'(x)=x^x(1+logx)

となります．

No.4 回答者： asuncion 回答日時： 2012/10/01 16:50

e^eはxにとって定数なので、xで微分したら0になる。

f(x)=x^xを微分するのと同じである。
log{f(x)}=x・log(x)
xで微分する。
f'(x)/f(x)=log(x)+1
f'(x)={log(x)+1}(x^x)

No.5 回答者： Knotopolog 回答日時： 2012/10/01 17:17

f(x) ＝ x^x ＋ e^e

e^e の微分は，e^e が定数なので，0(ゼロ)になります．したがって，

df(x)/dx ＝ d(x^x)/dx ＋ 0

となり，結局 d(x^x)/dx（x^x の微分）を求めれば答えが得られることになります．
つまり，この場合は，

g(x) ＝ x^x

と置いて，これを微分すれば良い事になります．g(x) ＝ x^x の両辺の対数をとると，

log(g(x)) ＝ log(x^x)

log(g(x)) ＝ x log(x)

微分すると，

g’(x)/g(x) ＝ 1・log(x) ＋ x・(1/x)

g’(x)/g(x) ＝ log(x) ＋ x/x

g’(x)/g(x) ＝ log(x) ＋ 1

この式から，g’(x) は，

g’(x) ＝g(x)( log(x) ＋ 1 )

g(x) は，g(x) ＝ x^x なので，

g’(x) ＝ x^x ( log(x) ＋ 1 )

となります．ここで，

df(x)/dx ＝ d(x^x)/dx ＋ 0

から

df(x)/dx ＝ dg(x)/dx

なので，結局，

f’(x) ＝ x^x ( log(x) ＋ 1 )

が答えです．

No.6 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2012/10/02 00:05

>自分の答えからどのような過程で正答にたどり着けますか？

>自分でやったところ↓
>f(x)=x^x+e^e　...(★)
>log f(x)=log x^x+log e^e　...(◆) ←この式が間違い
正しくは
log f(x)=log(x^x+e^e)　,,,(●)
≠log x^x+log e^e　...(◆)
>=xlogx+eloge ←　この式は間違いの(◆) の式に等しいけど、正しい(●)の式とは別物。
なので以下の式も間違い。
>f '(x)/f(x)=logx+x/x+0
>f '(x)=(logx+1)(x^x+e^e)

(●)のように対数をとらないで(★)の式を
直接微分した方が良いでしょう。
f(x)=x^x+e^e
　　=e^(xlog(x))+e^e
f'(x)={e^(xlog(x))}(xlog(x))'={e^(xlog(x))}(log(x)+x/x)
=(x^x)(log(x)+1)

■公式：a^b=e^(blog(a))
を覚えて置くこと（今の場合a=b=xのケースです）

この回答へのお礼

皆様ありがとうございます。
特にベストアンサーを選んだことに対しての意味はありません。
皆様、全員のご好意に感謝致しております。

お礼日時：2012/10/04 14:06