数検の過去問です

次男が数検を受けるので過去問を解いていて、わからないので教えてと言われましたが私も分かりませんので教えてください。

問題
４けたの整数があります。この整数を4で割ると割り切れて、商は４けたの整数で、数字の並ぶ順序がもとの整数と逆になります。もとの4けたの整数を求めなさい。

です。

答えは８７１２です。

どうやって求めればよいのか、細かく教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2012/10/05 22:36

こんばんわ。

まずは、条件を式におこすところからですね。

1) もとの数（4ケタの整数）を
　　(もとの数)＝ 1000A+ 100B+ 10C+ D

　と表すことにします。
　「4ケタの数である」ためには、少なくとも Aは 0ではないことが言えます。


2) 次にもとの数を 4で割った商を考えます。
　もとの数と逆の順序で並ぶということですから、
　　(商)＝ 1000D+ 100C+ 10B+ A

　と表されます。
　この商も 4ケタの数ですから、少なくとも Dは 0ではないことが言えます。


3) 割り算の式を考えると、(もとの数)÷4＝ (商)であり、
　ここから (もとの数)＝ (商)×4ということがわかります。
　これを式にすると
　　1000A+ 100B+ 10C+ D＝ 4000D+ 400C+ 40B+ 4A

　となります。


4) 3)の左辺も右辺も同じ「4ケタの数」を表していることから
　右辺の Dは、D＝ 1か D＝ 2のときしかあり得ないことになります。
　（Dが 3以上になると、右辺は 5ケタの数となってしまう）


5) あとは、D＝ 1の場合、D＝ 2の場合と場合分けして考えていきます。
　千の位を比較することで、
　　D＝ 1のときは A＝ 4
　　D＝ 2のときは A＝ 8

　となります。


6) それぞれの場合について、Bと Cの関係式がでてきます。
　その関係式を満たす整数の組について、
　「もとの数が 4で割り切れる」条件に当てはまるものを探し出します。
　整数が 4で割り切れるかどうかは、「下 2ケタが 4で割り切れる」ことを調べればよいです。


絞り込みができれば、計算自体はさほど大きな数を相手しなくてもよさそうです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。なるほど、計算で答えがきちんと出てくるという問題ではないのですね。

お礼日時：2012/10/06 12:29

No.4 回答者： staratras 回答日時： 2012/10/06 09:57

あえて方程式をまったく使わない算数的な解法を試みました。

最初に与えられた数をA、4で割った商をBとします。

Aは4の倍数なので、一の位は偶数でなければなりませんが、Aの一の位の数はBの千の位でもあり、4倍しても4桁の数であることから、これを満たすのは2だけです。つまりBの千の位=Aの一の位=2です。…(1)

したがってBは2000以上2999以下の整数となりますが、この4倍が9000以上(つまりAの千の位が9)となるとBの一の位が9となりますが、9×4=36 でAの一の位が6となり、(1)に反します。
よってAの千の位=Bの一の位=8です。

B×4=A　　２□□８×４＝８□□２　の計算を考えると、4倍しても繰り上がらないのでBの百の位は2以下です。

Bの百の位が2のとき、Aの十の位も2です。8×4=32 なので、Aの十の位が2になるためにはBの十の位の数の4倍の末尾の数字が9(∵3+9=12)にならなければなりませんが、4倍して末尾が9(奇数)になる整数はないのでこの場合はありえません。

Bの百の位が1のとき、Aの十の位も1です。上と同様にAの十の位が1になるためにはBの十の位の数の4倍の末尾が8(∵3+8=11)にならなければなりません。これを満たすのは2×4=8または7×4=28です。
前者の場合　2128×4=8512 で題意をみたしませんが、後者は2178×4=8712で題意を満たします。

Bの百の位が0のとき、Aの十の位も0です。同様にAの十の位が0になるためには、Bの十の位の数の4倍の末尾の数字が7(∵3+7=10)にならなければなりませんが、4倍して末尾が7(奇数)になる整数はないのでこの場合はありえません。

以上から題意を満たすのは 8712÷4=2178 だけです。

この回答へのお礼

丁寧な説明をありがとうございます。

お礼日時：2012/10/06 12:35

No.3 回答者： birth11 回答日時： 2012/10/06 06:08

もとの4けたの整数の1の位の数は 0,2,4,6,8が候補。

(なぜならもとの整数が4で割り切れるから。)

更に商の4けたの整数の千の位の数は0,2,4,6,8のうち2だけが候補。
(なぜなら商の千の位の数は0ではないし、4をかけて10以上になってはいけないから。)

よってもとの4けたの整数の1の位の数は2。
商の4けたの整数の千の位の数は2。
よってもとの4けたの整数の千の位の数は8，9が候補。
よって商の4けたの整数の1の位の数は8，9が候補。

更に商の4けたの整数の1の位の数かける4の答えの1の位の数は2なので商の4けたの整数の1の位の数は3，8が候補。
なので商の4けたの整数の1の位の数は8。
もとの4けたの整数の千の位の数は8。

商の4けたの整数の千の位の数は2、もとの4けたの整数の千の位の数は8、なので商の4けたの整数の100の位の数は4をかけたとき10以上であってはいけないので1，2が候補。

更にもとの4けたの整数は4で割り切れるので10の位の数は1，3，5，7，9が候補。
なのでもとの4けたの整数の10の位の数は1。
商の4けたの整数の100の位の数は1。

これらをまとめる。
x を1けたの整数とすると、
もとの4けたの整数は 8012 + 100 x………( i )
商の4けたの整数は 2108 + 10 x
と表せ、次の方程式が得られる。

( 8012 + 100 x ) / 4 = 2108 + 10 x
8012 + 100 x = 8432 + 40 x
60 x = 420
x = 7

( i )に x = 7 を代入して
8012 + 700 = 8712

ゆえに、もとの4けたの整数は 8712 である。………………………(答)

この回答へのお礼

丁寧な説明をありがとうございます。

お礼日時：2012/10/06 12:35

No.2 回答者： Dracky376B 回答日時： 2012/10/05 23:06

４桁の整数を［ＡＢＣＤ］とすると、［ＡＢＣＤ］＝４×［ＤＣＢＡ］＜10000

よって、［ＤＣＢＡ］＜2500
［ＤＣＢＡ］は４桁の整数（つまりＤ≠０）より、Ｄの候補は｛１,２｝である。
ここで、［ＡＢＣＤ］が４の倍数より、Ｄは偶数だから、Ｄ＝２。

この時、［ＡＢＣ２］＝４×［２ＣＢＡ］＞４×2000＝8000 が成り立つ。
ゆえに、Ａの候補は｛８,９｝である。
ここで、１の位に着目すると、（４×Ａ）の「１の位」が２である必要があるから、Ａ＝８。

［８ＢＣ２］が４の倍数より、下２桁が４の倍数になっている必要があるから、Ｃの候補は｛１,３,５,７,９｝である。
ここで［８ＢＣ２］＝４×［２ＣＢ８］より、４×Ｃは１桁である必要がある。
ゆえに、Ｃ＝１。

以上から、Ｂ＝ｂとすると、次の式が成り立つ。
8012＋100ｂ＝4×（2108＋10ｂ）
60ｂ＝420
∴ｂ＝７

以上より、元の整数は 8712 。

この回答へのお礼

丁寧な説明をありがとうございます。

お礼日時：2012/10/06 12:32