証明の問題です。

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質問者：inaba19
質問日時：2004/02/12 15:13
回答数：6件

本日二回目です。すみません。
四角形の二つの対角線の長さがa、bで、そのなす角がθであるとき、この四角形の面積は、1/2absinθであることを示せ。
という問題です。あと、等式の証明で、
△ABCの面積をＳ、外接円の半径をＲとするとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。
(1)Ｓ＝2R＾2sinAsinBsinC
(2)Ｓ＝abc/4R
という問題です。等式の証明で、正弦定理がつかえそうなのですが、どのようにあてはめればよいのかがわかりません。
お願いします。

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回答 (6件)

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No.6ベストアンサー

回答者： hinebot
回答日時：2004/02/13 09:15

#2です。

そろそろできたでしょうか。

前半の問題
四角形をABCDとし、対角線AC=a,BD=b,∠AOB=θ、ACとBDの交点をOとし、BO=t とおく。
△ABCにおいてACを底辺としたとき、高さは
BO×sin∠AOB　= t・sinθ
△ADCにおいてACを底辺としたとき、高さは同様に
(b-t)・sinθ
よって、
四角形ABCD = △ABC＋△ADC
=(1/2)・a・t・sinθ　＋(1/2)・a・（b-t)・sinθ
=(1/2)・a・sinθ・(t+b-t)　=(1/2)absinθ
[終]

後半の問題
※普通は#4さんの逆方向でやります。というか、その方が簡単です。
(1)
S=(1/2)absinC　---(*)
正弦定理
a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R
より、 a=2R・sinA, b=2R・sinB なので、(*)に代入すると
S=(1/2)absinC = (1/2)(2R・sinA)(2R・sinB)sinC
　=2R^2sinAsinBsinC [終]

(2)
正弦定理
a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R
より、 sinC = c/2R (もちろんR≠0）
これを(*)に代入すると
S=(1/2)absinC = (1/2)ab(c/2R) =abc/4R [終]

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この回答へのお礼

詳しい回答ありがとうございます。
わかりやすかったので、すぐ理解することができました。

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お礼日時：2004/02/13 21:12

No.5

回答者： shinchan_k
回答日時：2004/02/13 08:03

>2R=a/sinA

より、
4R=2*(a/sinA)
なので
>右辺=abc/(2*a/sinA)=bcsinA/2=Ｓ
の(2*a/sinA)の部分が4Rです。
補足が遅くなってすみません。

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この回答へのお礼

詳しく説明していただいてありがとうございます。
4Rは、2Rを二倍するので、2*(a/sinA)
となるのですね。

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お礼日時：2004/02/13 21:02

No.4

回答者： shinchan_k
回答日時：2004/02/12 15:41

まず最初のやつ。

四角形ABCDの対角線ACとBDの交点をPとする。
AP=x,BP=y,∠APB=θとおくと、
△ABP=xysinθ/2
△BCP=(AC-x)ysin(180-θ)/2=(AC-x)ysinθ/2
△CDP=(AC-x)(BD-y)sinθ/2
△ADP=x(BD-y)sin(180-θ)/2=x(BD-y)sinθ/2
この４つの三角形の面積の和が四角形ABCDの面積なので
４つとも足すと、
absinθ/2
となります。

次のやつ。
(1)
正弦定理より
sinA=a/2R
sinB=b/2R
右辺=2r^2(a/2R)(b/2R)sinC=absinC/2=Ｓ
(2)
同じく正弦定理より
2R=a/sinA
右辺=abc/(2*a/sinA)=bcsinA/2=Ｓ