２次関数の最大・最小問題の場合分けについて

定義域と関数の式が与えられていて、どちらかに文字を含んでいるとき（定義域は固定・グラフが動くときや、定義域が動きグラフが固定されるときについて）、場合分けの方法は２種類ありますよね。

端点のみで最大値・最小値を取る場合は、定義域の真ん中の点と軸との大小関係を考えた場合分け。

端点だけでなく、頂点で最小値・最大値を取る場合は、定義域の端点と軸との大小関係を考えた場合分け。


定義域の端点と軸とを比べる場合はなんとなくわかります。
定義域の真ん中の点と軸とを比べればよいことも、グラフを見れば確かにそうだなぁーとは想います。
ですが、イマイチ納得できないのです。
とくに、定義域の真ん中を考えるという発想がなぜ出てくるのか…

回答よろしくお願いします。

No.1 回答者： hiro822 回答日時： 2012/12/27 01:14

真ん中なんて調べなくても良い気がします。

端っこと、極値（２次関数の場合は軸）のみで十分だと思います。

No.2 ベストアンサー 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/12/27 06:41

>端点のみで最大値・最小値を取る場合は、定義域の真ん中の点と軸との大小関係を考えた場合分け。

端点のみで最大，最小になるのは，定義域の外に軸がある場合でしょう．実際には簡単です．

>端点だけでなく、頂点で最小値・最大値を取る場合は、定義域の端点と軸との大小関係を考えた場合分け。

この方が一般的で，常にこの場合を意識した方がいいと思います．

なぜ，定義域の真ん中という発想が出てくるか．それは，軸が定義域の真ん中の左にあるか右にあるかで左端と右端のどちらで最大または最小になるかが違ってくるからです．

具体例をあげるとf(x)=x^2-2ax+a^2+1(0≦x≦2)の場合

f(x)=(x-a)^2+1

となるから，軸はx=aです．最大値と最小値を同時に考えるとごっちゃになるので分けて考えます．

最小値の場合：端点での場合分け

・0≦a≦2のときy=f(x)(0≦x≦2)は頂点を含むので最小値f(a)
・a<0のときf(x)は単調増加なのでf(0)≦f(x)≦f(2)→最小値f(0)
・a>2のときf(x)は単調減少なのでf(0)≧f(x)≧f(2)→最小値f(2)

最大値の場合：定義域の真ん中での場合分け

(1)a<1のときf(0)<f(2)→最大値f(2)
(2)a=1のときは最大値f(2)=f(0)
(3)1<aのときf(2)<f(0)→最大値f(0)

上のようにa=1（定義域の真ん中）での場合分けが生じる理由は，y=f(x)のグラフを描いてみるとよくわかります．ポイントは

放物線y=f(x)は軸対称

だからです．軸x=aと両端x=0,2との距離が大きいほど，下に凸の放物線の場合上に上がります．だからこの位置関係で最大値が変わってくるので場合分けが生じるのです．

（☆）aを動かす時，aと0の距離，aと2の距離の大小が変わるのはa=1の前後

図をみて良く考えましょう．自分で試行錯誤しながら描くのが一番です．

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2012/12/28 13:38

二次関数に限らず、閉区間を定義域とする連続関数の

最大値最小値は、境界上の値または極値のどれかです。
極値を(有無を含めて)リストアップして、境界値との
大小比較を行えば、最大値最小値が判ります。

二次関数の場合、単一の極値(最大または最小の片方)
を持ち、しかもグラフは軸対称…という際立った特徴
があるので、軸と定義域の位置関係で場合分けすれば、
極値が定義域に含まれるかどうかも、左右の境界値の
どちらが大きいかも、簡便に判定できます。
定義域の中央が登場する理由は、放物線のグラフが
左右対称だから、軸が定義域のどちら端に近いかで
どちらの境界値が大きいか解るからです。

二次関数の特徴にベッタリ依存した、小技的解法ですが、
実際に答案を書き出して比較してみると、冒頭に書いた
原理原則どおりの解法より、ずいぶん簡潔に処理できる
ことが解ると思います。