コイル磁界外力

解決済

質問者：noname#172761
質問日時：2013/01/03 17:20
回答数：2件

辺の長さa、bの長方形コイルを一定の速さvで幅2aの磁界(磁束密度Bで手前向き)を横切らせる
コイルの抵抗をRとする
この時コイルを引く外力があるらしいのですが、どういう風にかかるのでしょうか？教えてください

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回答 (2件)

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No.1ベストアンサー

回答者： yokkun831
回答日時：2013/01/03 18:30

コイルに誘導電流が流れると，導線が磁場から力を受けることになりますね？

コイルが磁場領域に
入りはじめてから入り終わるまでの間
と
出はじめてから出終わるまでの間
にvと逆向きのブレーキがかかりますから，速度vを保つためにそれとつりあう外力が必要になるのです。

- 1
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この回答へのお礼

等速直線運動だからブレーキと同じ力の外力が働くんですね
ありがとうございました

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お礼日時：2013/01/03 19:09

No.2

回答者： tknakamuri
回答日時：2013/01/03 19:18

フレミング右手の法則、あるいはレンツの法則に従い

コイルに誘導電流が流れ、その結果フレミング左手の法則に従い
コイルに力が加わります。

力はこの場合、コイルを押し返す方向に働きます。

- 0
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この回答へのお礼

分かりました
ありがとうございました！

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お礼日時：2013/01/03 19:43

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半径aと半径b（a<b）の同心球殻状の導体から作られるコンデンサーを考える。
外側球殻が電荷Qを帯び、内側球殻が電荷-Qを帯びているとし、以下の問いに答えよ。
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(２)外側球殻と内側球殻の電位差Vを求めよ。
(３)このコンデンサーの電気容量を求めよ。

という問題が解けません。
特に、同心球殻状の導体から作られるコンデンサーの考え方がわかりません。
どなたか解いていただけませんか。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

基本的な考え方だけ説明します。
「球面上に一様に分布した電荷ｑは、球内に電場を作らず、球外では
動径方向を向く電場E(r)=q/(4πεr^2)をつくる」（ε：真空の誘電率）

内球に電荷q1が分布するとき、
0＜ｒ＜aでE1(r)=0,a＜rでE1(r)=(1/4πε)(q1/r^2)
外球に電荷q2が分布するとき、
0＜ｒ＜ｂでE2(r)=0、b＜ｒでE2(r)=(1/4πε)(q2/r^2)
実際の電場は、E(r)=E1(r)+E2(r)

電荷は、内球の外面にq1,外球の内面に-q1,外球の外面にq2分布する。

電位は、
φb=∫[0→∞] E(r)dr=(1/4πε)(q1+q2)/b
φa=φb+∫[a→b] E(r)dr=φb+(q1/4πε)(1/a-1/b)

q1=-Q,q2=+Qより、電位差は、
V=φa-φb=(Q/4πε)(1/a-1/b)だから、
C=Q/V=(Q/4πε)/(1/a-1/b)

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Aベストアンサー

問題の意味と意図がよくつかめませんが....

よくある例題は

　　　　Ｉ
　┌──＞──┐
　│　　　　　│
　│　　　　　│
Ｉ∧　　　　　∨Ｉ
　│　　　　　│
　│　　　　　│
　└──＜──┘
　　　　Ｉ

で，これなら中心軸上でちゃんとゼロでない磁束密度が存在します．

physicist_naka さんの説だと

　　　　Ｉ
　Ａ──＞──Ｂ
　│　　　　　│
　│　　　　　│
Ｉ∨　　　　　∨Ｉ
　│　　　　　│
　│　　　　　│
　Ｄ──＞──Ｃ
　　　　Ｉ

ですね．
これだと，中心軸上で対称性から磁束密度はゼロです．
AB の寄与と DC の寄与がキャンセルし，
AD の寄与と BC の寄与がキャンセルするということになります．

-----------------------------------------------------

で，(2)はＤに 6I の電流が流入し，Ｆから抜けてゆくということでしょうか．

　　　　Ｄ─────Ｃ
　　　／│　　　　／│
　　／　│　　　／　│
　Ａ─────Ｂ　　│
　│　　│　　│　　│
　│　　│　　│　　│
　│　　Ｈ──│──Ｇ
　│　／　　　│　／
　│／　　　　│／
　Ｅ─────Ｆ　
　
そうすると，対称性から，各辺の電流は
　D→C：2I，　　D→A：2I，　　D→H：2I
　A→B： I，　　A→E： I，　　
　C→G： I，　　C→B： I，
　H→E： I，　　H→G： I，
　B→F：2I，　　E→F：2I，　　G→F：2I
になります．
体心では，前半最後に述べたことにより
　D→C による磁束密度と E→F による磁束密度がキャンセル
　D→A による磁束密度と G→F による磁束密度がキャンセル
　D→H による磁束密度と B→F による磁束密度がキャンセル
　A→B による磁束密度と H→G による磁束密度がキャンセル
　C→B による磁束密度と H→E による磁束密度がキャンセル
　A→E による磁束密度と C→G による磁束密度がキャンセル
となり，結局体心での磁束密度はゼロです．

ミスタイプしていなきゃいいけど...
書くの疲れた～．

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「コイル」として考えた場合は，質問者さまの考えで合っていると思います．

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まずADの直線だけ，BCの直線だけに発生する起電力を求めてから，
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問1 図1のように、内円筒の半径a(m)、外円筒の半径b(m)の円軸円筒コンデンサがある。
　　ただし両円筒の厚さは無視できるものとする。円筒間は誘電率ε(F/m)の均質な誘電体で
　　満たされているとして以下の問いに答えよ。なお同軸円筒は無限長に近似できるとする

(1)　円軸円筒コンデンサの単位長さ当たりの静電容量C(F/m)を求めよ。

(2) 電極間の電位差の値がVであるとき円筒間の誘電体内における電場の強さE(V/m)をa,b,Vを
　　用いて中心軸r(m)の関数で表せ。また、a<=r<=bにおいて電場の強さが最大になるrはいくらか

(3) 円筒間の誘電体内において、絶縁破壊を起こさない範囲で許される最大の電場の強さがEsで
　　あるとき許される電極間の電位差の最大値Vsを求めよ

(4) 外円筒の半径bが決まっている時、(3)で得られたVsをaの関数と考え、Vs(a)の最大値と
　　そのときのaを求めよ。

解答
(1) E=Q/4πεr^2 からab間の電位差を求め、Q=CVに代入し、C=4πεab/(b-a)
単位長さあたりなのでこれをrで割ったものが答えだと思いました

(2)以降は解りませんでした

問２　図２のように同一の平面内に十分に長い直線導線と辺の長さがa,b[m]の長方形コイルABCD
　　　がおかれており、長さaの辺ABは導線に平行でそれからx[m]の距離にある。透磁率は
　　　真空中と同様にμ0である

(1) 相互インダクタンスを求めよ

(2) 直線導線に、大きさがI1(t)=I0t[A]のように時間t[s]と共に増加する電流が上向きに流れるとき
　　長方形コイルに祐樹される起電力の大きさV(t)[V]と向きを求めよ

(3) 直線導線と長方形コイルABCDにそれぞれI1,I2[A]の直流電流を流した時に、導線と
　　長方形コイルの間に働く力の大きさF[N]を、直線導線に流れる電流I1によって生ずる磁束密度が
　　コイルABCDの各辺に及ぼす力を足し合わせることで求めよ。
　　ただし、直線導線と辺ABの電流の向きは同じとする。

解答
(1) 距離x離れた場所に電流Iが作る磁界Hは H=I/2πxなのでB=μH、φ=BS、φ=MIに代入していき
　　M=μ0ab/2πx

(2) V(t)=-M・dI1(t)/dt = -M・dI0t/dt =-MI0 であり向きは奥から手前方向

(3) 解けませんでした、ローレンツ力を使うのでしょうか?

問３
真空の誘電率をε0として以下の問いに答えよ

(1) 図3(1)のように半径a[m]の輪状に電荷+q[c]が一様に分布している時、円の中心を通り円が作る
　　平面に垂直な直線上における電場の向きと大きさE1をqを用いて
　　中心からの距離x[m]の関数として求めよ

(2) 図3(2)のように半径a[m],長さL[m]の中空の円筒状に電荷+Q[c]が一様に分布している時
　　円筒中心軸上の電場の向きと大きさE2[V/m]を円筒中央からの距離r[m]の関数として求めよ

解答
(1) E1=q/4πε(a^2+x^2) 上向き

(2) E2=q/4πε(a^2+r^2) 上向き　　自信がないです

以上です、解らなかったと書いた問題も考えたのですが上手く文章にできなかったため書きませんでした

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

問1

(1)
内側円筒に電位+V，外側円筒に電位0を与えると，内側円筒には円筒の軸方向の単位長さあたり+q，外側円筒には円筒の軸方向の単位長さあたり-qの電荷が現れるとする．

このとき，円筒の軸方向の長さがΔl，半径r (a ≦ r ≦ b)の円柱領域でガウスの法則を用いると，中心軸からrの位置での電場をE(r)として，

E(r)・2π r Δl = q Δl/ε
∴E(r) = q/(2π ε r).

V = -∫[b,a] E(r) dr
= {q/(2π ε)} ∫[a,b] dr/r
= {q/(2π ε)} ln(b/a)

∴q = {2π ε/ln(b/a)} V.

これは，このコンデンサの単位長さあたりの静電容量が
2π ε/ln(b/a)
であることに他ならない．

(2)
前問の式
E = q/(2π ε r),
q = {2π ε/ln(b/a)} V
からqを消去すると，
E = V/(r ln(b/a)).

これはrの単調減少関数なので，
a ≦ r ≦ bにおいてEが最大になるのは r = a のとき．

(3)
任意のrに対して
E(r) ≦ E(a) = V/(a ln(b/a)) ≦ Es
∴V ≦ Es a ln(b/a) = Vs.

(4)
Vs(a) = Es a ln(b/a) = Es a(ln b - ln a).

dVs(a)/da = Es ln(b/a) - Es.

dVs(a)/da = 0 となるのは a = b/e のときで，このときVs(a)は最大値
Vs(b/e) = Es b/e
をとる．

問2

(1)
直線導線に電流Iを流したとき，直線導線からの距離がrの位置の磁束密度は
B = μ0 I/(2π r).

このBと長方形コイルとの鎖交磁束は
Φ
= ∫B・dS
= ∫[x, x+b] B(r)・a dr
= {μ0 I a/(2π)} ∫[x, x+b] dr/r
= {μ0 I a/(2π)} ln(1 + b/x).

これは，相互インダクタンスが
M = {μ0/(2π)} a ln(1 + b/x)
であることに他ならない．

(2)
DCBADの向きを正の向きとして，誘導起電力は
e(t)
= -dΦ/dt
= -{μ0/(2π)} dI/dt a ln(1 + b/x)
= -{μ0/(2π)} I0 a ln(1 + b/x).

すなわち，誘導起電力の大きさは
V(t) = |e(t)| = {μ0/(2π)} I0 a ln(1 + b/x)，
向きはABCDAの向き．

(3)
磁束密度Bが電流Iに及ぼす力の大きさはは単位長さあたりI×Bです．

直線導線がつくる磁束密度
B1(r) = μ0 I1/(2π r)
が長方形コイルの各辺に及ぼす力を考えましょう．

辺BCに働く力と，辺DAに働く力は大きさが同じで向きが真逆であるため相殺されます．

辺ABに働く力
= I2 a×B1(x)
= μ0 I1 I2 a/(2π x).
向きは直線導線に向かう向き．

辺CDに働く力
= I2 a×B1(x+b)
= μ0 I1 I2 a/{2π(x + b)}.
向きは直線導線から遠ざかる向き．

したがって，長方形コイル全体に働く力の大きさは
F
= μ0 I1 I2 a/(2π) {1/x - 1/(x + b)}.

向きは直線導線に向かう向き．

問3

(1)
> 中心からの距離x[m]の関数として求めよ

とあるので，xは常に非負と考えます．

円周上の微小な長さ dl の電荷は
dq = q dl/(2π a).

このdqが問題の位置につくる電場の大きさは
dE = k dq/(x^2 + a^2).

# k = 1/(4π ε0).

dEの，円と垂直な成分dE1は次のように表される：
dE1 = dE x/√(x^2 + a^2).

したがって，
E1(x)
= ∫dE1
= ∫dE x/√(x^2 + a^2)
= k x/(x^2 + a^2)^(3/2) ∫dq
= k q x/(x^2 + a^2)^(3/2)
= {q/(4π ε0)} x/(x^2 + a^2)^(3/2).

向きは円に垂直で円から遠ざかる向き．

(2)
rの位置をx = 0として，座標xにある厚さdxの円環がrの位置につくる電場は，前問の結果より

dE2 = -{Q dx/(4π ε0 L)} x/(x^2 + a^2)^(3/2)

E2(r)
= ∫dE2
= -{Q/(4π ε0 L)} ∫[-L/2-r,L/2-r] x dx/(x^2 + a^2)^(3/2)
= {Q/(4π ε0 L)} [1/√{(L/2 - r)^2 + a^2} - 1/√{(L/2 + r)^2 + a^2}].

電場の向きは円筒中央からrの位置に向かう向き．

# 問3(2)は，系の対称性からr = 0のときE2 = 0となるはず．

# もっと詳しく説明したいのですが(特に問3)，言葉だけで説明するのは困難... 歯がゆいです．