重積分について教えてください。

重積分の回答を教えてください。

次の重積分を極座標変換にて求めよ。また、積分の領域を図示せよ。

1、∬D(-x^2-y^2+1)dxdy, D={(x,y)|x^2+y^2<=1}
2、∬D(1/（x^2+y^2+2）)dxdy, D={(x,y)|x^2+y^2<=1,x>=0,y>=0}

お手数ですが、回答と積分領域の図をお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2013/01/19 23:49

1

積分領域Dは原点中心、半径１の円の内部（円の境界線を含む）ですから自分で図を描いてください。

x=rcosθ,y=rsinθとおき置換積分する。
D ⇒ E={(r,θ)|0≦r≦1,-π≦θ≦π}
∬_D (-x^2-y^2+1)dxdy
=∬_E (1-r^2)|J|drdθ
=∫[-π,π]dθ∫[0,1](1-r^2)rdr
=2π∫[0,1](r-r^3)dr

あとは高校の基礎的な積分なのでご自分でやってください。

=π/2

２
積分領域Dは原点中心、半径１の円の内部で第一象限の部分「1/4円」（境界線を含む）ですから自分で図を描いてください。

x=rcosθ,y=rsinθとおき置換積分する。
D ⇒ E={(r,θ)|0≦r≦1,0≦θ≦π/2}
∬_D 1/(x^2+y^2+2)dxdy
=∬_E 1/(r^2+2)|J|drdθ
=∫[0,π/2]dθ∫[0,1] 1/(r^2+2) rdr
=(π/2)∫[0,1](1/2)(r^2)'/(r^2+2)dr

あとは合成関数の積分公式を適用するだけなのでご自分でやってください。

=(π/4)ln(3/2)

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2013/01/20 02:47

「極座標変換にて求めよ」と言われてんだから、

x = r cosθ,
y = r sinθ　で置換積分するだけ。
dx dy = r dr dθ を忘れずに。

1.
D = { (r,θ) | r≦1, 0≦θ<2π } から、
∫∫_D (-x^2-y^2+1) dxdy = ∫[0≦θ<2π] { ∫[0≦r≦1] (-r^2+1)r dr } dθ.

2.
D = { (r,θ) | r≦1, 0≦θ≦π/2 } から、
∫∫_D (1/(x^2+y^2+2)) dxdy = ∫[0≦θ≦π/2] { ∫[0≦r≦1] (1/(r^2+2))r dr } dθ.

積分の実行は、あまりにも簡単だから、自分でやって。

No.3 回答者： Human_being 回答日時： 2013/01/20 05:19

x^2+y^2が出てくる重積分は極座標変換で解くのが定石です。

sin^2θ+cos^2θ=1の公式が適用できて、式が簡単になるからです。
積分する領域は、与えられた領域から推察する必要があります。
1、2ともDがx^2+y^2=a^2の円の公式を満たすので、1はx^2+y^2≦1の式を満たす、つまり半径1の円の内側の領域で積分するということになりますが、x=rcosθ、y=rsinθとおくと、半径は0≦r≦1、円の全周で積分するので0≦θ≦2πとなります。2も同様ですので、図示する領域は原点を中心とした半径1の円です。