ベクトルの問題なのですが・・

三角形ABCの内部に点Pを２PA+PB+２PC=０を満たすようにとる。直線APと辺BCの交点を
Dとし、三角形PAB、三角形PBC、三角形PCAの重心をそれぞれ、E,F,Gとする。
（１）EF=KAC（Kは定数）であることを示せ。
（２）三角形EFGと三角形PDCの面積比を求めよ。

PDまでは求められたのですが、（１）はどう示せばいいのかがいまいち
分かりません・・・。
詳しく教えてください！

ベクトルは省略させて下さい。

No.2 ベストアンサー 回答者： ferien 回答日時： 2013/01/20 14:48

＞三角形ABCの内部に点Pを２PA+PB+２PC=０を満たすようにとる。

直線APと辺BCの交点を
＞ Dとし、三角形PAB、三角形PBC、三角形PCAの重心をそれぞれ、E,F,Gとする。
２PA+PB+２PC=０より、
-2AP＋(AB－AP)＋2(AC－AP)＝0
5AP＝AB＋2AC　より、AP＝(1/5)AB＋(2/5)AC　

BD：DC＝t：1－t　とすると、
AD＝(1－t)AB＋tAC　……(1)
A,P,Dは一直線上にあるから、AD＝kAP　とおける。
AD＝(1/5)kAB＋(2/5)kAC　……(2)
(1)(2)より係数を比較すると、
1－t＝(1/5)k，　t＝(2/5)k　を連立で解くと、
k＝5/3，　t＝2/3
よって、
AD＝(5/3)APより、AD：AP＝5：3　……(3)
BD：DC＝2/3：1/3＝2：1　……(4)　
（これをもとにして、図を描いてください。）

＞ （１）EF=KAC（Kは定数）であることを示せ。
AB,BC,ACの中点をL,M,Nとする。
AL＝(1/2)AB，AN＝(1/2)AC，AM＝(1/2)AB＋(1/2)AC　……(5)

△PABの重心Eは、中線PLをPE：EL＝2：1に分ける点だから、
(5)より、
AE＝(1/3)AP＋(2/3)AL
＝(1/3)AP＋(2/3)・(1/2)AB
＝(1/3)AP＋(1/3)AB　……(6)

△PBCの重心Fは、中線PMをPF:FM＝2：1に分ける点だから、
(5)より、
AF＝(1/3)AP＋(2/3)AM
＝(1/3)AP＋(2/3){(1/2)AB＋(1/2)AC}
＝(1/3)AP＋(1/3)AB＋(1/3)AC　……(7)
(6)(7)より、
EF＝AF－AE＝{(1/3)AP＋(1/3)AB＋(1/3)AC}－{(1/3)AP＋(1/3)AB}
＝(1/3)AC　
よって、EF＝(1/3)AC　……(ア)　だから、k＝1/3とみれば、EF＝kAC

＞（２）三角形EFGと三角形PDCの面積比を求めよ。
△PDCの面積について、(3)(4)と図から、、
△ABCと△ADCで、頂点をAと見ると面積比＝底辺の比　だから、
△ABC：△ADC＝BC：DC＝3：1　より、△ADC＝(1/3)△ABC
△ADCと△PDCで、頂点をCと見ると、同様に
△ADC：△PDC＝AD：PD＝5：2　より、
△PDC＝(2/5)△ADC＝(2/5)・(1/3)△ABC＝(2/15)△ABC　……(8)

△PCAの重心Gは中線PNをPG：GN＝2：1に分ける点だから、
(5)より、
AG＝(1/3)AP＋(2/3)AN
＝(1/3)AP＋(2/3)・(1/2)AC
＝(1/3)AP＋(1/3)AC　……(9)
(6)(9)より、
EG＝AG－AE＝{(1/3)AP＋(1/3)AC}－{(1/3)AP＋(1/3)AB}
＝(1/3)(AC－AB)
＝(1/3)BC　……(イ)
(7)(9)より、
GF＝AF－AG＝{(1/3)AP＋(1/3)AB＋(1/3)AC}－{(1/3)AP＋(1/3)AC}
＝(1/3)AB　……(ウ)

△EFGと△ABCとで、
(ア)(イ)(ウ)より、
EF/AC＝EG/BC＝GF/AB＝1/3　より、
３辺の比が等しいから、△EFG∽△ABC
よって、相似比＝EF：AC＝1：3だから
面積比△EFG：△ABC＝1^2：3^2＝1：9　より、
△EFG＝(1/9)△ABC　……(10)

よって、(8)(10)より、
△EFG：△PDC＝(1/9)△ABC：(2/15)△ABC
＝1/9：2/15
＝5：6

後半は相似条件から求めました。確認してみて下さい。

この回答へのお礼

分かりやすく、文章までつけて下さってありがとうございます。
自分もう一度確認してみます。

お礼日時：2013/01/20 22:58

No.1 回答者： yyssaa 回答日時： 2013/01/20 08:59

＞ベクトルPAを↑PAと書きます。

（１）EF=KAC（Kは定数）であることを示せ。
三角形の重心は、頂点と対辺の中点を結ぶ線分(中線)上の頂点から
中線の長さの2/3だけ離れた点。
↑PE=↑PA+(1/2)↑AB-(1/2)↑PEから(3/2)↑PE=↑PA+(1/2)↑AB
↑AB=↑PB-↑PAだから
(3/2)↑PE=↑PA+(1/2)(↑PB-↑PA)=(1/2)↑PA+(1/2)↑PB
↑PE=(↑PA+↑PB)/3
同様に↑PF=(↑PB+↑PC)/3、よって
↑EF=↑PF-↑PE=(↑PB+↑PC)/3-(↑PA+↑PB)/3=(↑PC-↑PA)/3
一方、↑AC=↑PC-↑PAだから↑EF=(1/3)↑ACとなる。（証明終わり)