合同式の定義 剰余？ それとも 最小非負剰余？

合同式の定義について、参考書ではあいまいにごまかしてあったので質問させてください

合同式の定義は

整a≡整b　(mod 整c）　⇔　整a=整c×整d＋整e ∧ 整b＝整c×整f＋整e
なのでしょうか？
（つまり整eは剰余）

それとも

整a≡整b　(mod 整c）　⇔　整a=整c×整d＋整e ∧ 整b＝整c×整f＋整e ∧ 0≦整e＜整c
なのでしょうか
（つまり整eは最小非負剰余）

参考書ではどちらにもとれる書き方をしてありました

No.3 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/01/25 23:19

法は負数でも構いませんが、c＜0 であれば、

0≦e＜c となる e は存在しませんから、
どちらの定義を採るべきかは明らかでしょう。

この回答へのお礼

負数でも良いのですね　wikiなど法が自然数の範囲のみで解説している場合が多く
迷っていました　ありがとうございました！

お礼日時：2013/01/26 00:31

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2013/01/25 19:53

どちらにもとれるも何も…

整数 a,b,c (c>0) について、
∃d,e,f∈整数,(a=cd+e ∧ b=cf+e) と
∃d,e,f∈整数,(a=cd+e ∧ b=cf+e ∧ 0≦e＜c) は
同値ですよ。
∃f∈整数,a-b=cf とも、同値。

この回答への補足

いろいろ考えてみて同値であることは納得したのですが、あらたな疑問が生じました
alice_44さんはCにC>0という条件をつけていますよね
つまり法は自然数の範囲のみです

これはなぜなのでしょうか？
合同式を考えるときに法を整数の範囲で考えてはいけないのですか？

補足日時：2013/01/25 22:27

この回答へのお礼

回答ありがとうございます

同値でしたか…
もういちどよく考えて見ます

お礼日時：2013/01/25 20:13

No.1 回答者： ta20000005 回答日時： 2013/01/25 19:46

普通は

整a≡整b　(mod 整c）　⇔整a-整b=整c×整fとなる整数 整f がある

なのでは。