車輪の転がりについての物理の問題です

はじめ床の上を滑らずに転がっていた車輪が床と滑らかに接続する角度θの斜面を登り始めた時、斜面が車輪に及ぼす静止摩擦力は斜面上向きに作用しますか？それとも斜面下向きでしょうか？

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/02/05 22:01

>「斜面に水平」

斜面に平行と言うべきでしたね(^^;

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/02/05 22:00

有名な [物理のかぎしっぽ]に同じ質問があったので

載せておきます。

http://hooktail.maxwell.jp/bbslog/14597.html

また、

斜面を転がる運動方程式

とか

剛体の運動方程式

とかで検索すれば、同様の議論が無数に
みつかります。

ではでは。

No.6 回答者： foomufoomu 回答日時： 2013/02/05 01:52

うひゃー、言葉づかいが滅茶苦茶ですねぇ。

「斜面に水平」とか、「速度(各加速度)は常に落ちて」とか、まるで「山頂めざして下山する」みたいな言葉で、状況を知らないと何を言っているのかわからないですねぇ。
まぁ、おかげで、質問もこれぐらい意味不明な言葉づかいを理解しないといけないということで、ようやく意味がわかりました。
車輪と斜面が接する点の摩擦力は斜面の上、下どちら向きか？
ですね。

この問題は、転がり摩擦の性質を無視しては、正解を出すことはできません。
質問では動力はないようなので、車輪は慣性だけで転がっている状態と思われます。

慣性状態の転がりは、下図の黒矢印のように、直線運動と回転運動に分けて考えることができます。摩擦力は進行方向と逆の方向に働くという法則に従えば、それぞれ赤矢印で示した摩擦力が発生していることになり、2つの摩擦力が逆方向であるため、力が打ち消しあうため、転がり摩擦は小さい値であることが推測できます。また、車輪は転がり摩擦によって徐々に速度が落ちていくことから、直線運動による摩擦力のほうが少しだけ大きいことになります。

もしも、この状態で、車輪の回転に影響を与えないように、直線運動だけ速度が遅くなるよう力をかけたとすると、回転運動はそのままですから、直線運動の摩擦力だけが小さくなり、トータルの摩擦力は最初とは逆向きに働くようになります。このときの力は、「転がり摩擦より大きい力」ということになります。
ただし、遅くなるようにかけた力を取り去ると、ほどなく摩擦のため回転も遅くなり、ふたたび、トータルの摩擦力は進行方向と逆向きになります。

次に、この車輪が斜面にさしかかったときは、この図を少し傾けて考えればよいのですが、進行方向の速度は最初の速度×cosΘに落ち、一方回転速度はそのままなので、一瞬、回転による摩擦力の方が大きくなり、トータルの摩擦力の方向は逆向きになります。が、ほどなく回転は摩擦のため遅くなります。斜面上でも、働く力が、直線と回転の慣性力だけなら、平面を転がっている時と同じ状態に戻るわけですが、斜面の場合は、これに加えて重力による力がかかることになります。

これは前述の直線運動を遅くする力ですから、この力が転がり摩擦より大きければ、トータルの摩擦力は逆向き（斜面の上方向）になります。
重力による進行方向と逆向きの力は m*g*sinΘ　、転がり摩擦係数をμとすると転がり摩擦力はm*g*cosΘ*μですから、　
sinΘ＜cosΘ*μ　のときは、摩擦力は下向き
sinΘ＞cosΘ*μ　のときは、摩擦力は上向き
となります。
実際の転がり摩擦係数μは、
(1)鋼レールの上を鋼の車輪が転がる場合　0.02
(2)ゴムタイヤが道路を走るとき　0.05～0.15
(3)木の床を鉄の車輪が転がる場合　0.15～0.25
ですから、
(1)で、1.1度
(2)で、2.8～8.5度
(3)で、8.5～14.0度
以上傾いていれば摩擦力は上向きになります。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/02/02 23:10

>車輪が滑らずに転がるのも摩擦の作用ですが、それを「静止摩擦」

頑固だな(^^;　

具体的な計算を質問者さまに示します。

昇って行く時の車輪の回転速度が落ちるのですから、
力の向きは最初から明瞭なのですが、ちゃんと運動方程式を立てて
解いてみましょう。ころがりによるエネルギーロスは無視します。

車輪の半径を r とし、質量を m 慣性モーメントを I とします。

斜面に平行でのぼる方向を x とし、斜面に平行な方向と垂直な方向、および滑らない回転で
の運動方程式を作ってみます。

まず、斜面に垂直な方向ですが

　mgcosθ=垂直抗力　

斜面に水平方向は

　-mgsinθ + F = m d^2x/dt^2 (Fは車輪の斜面との間に働く力の斜面に水平な成分)

回転の運動方程式は車輪の回転角を Θとすると

I(d^2Θ/dt^2) = -rF

滑らないという束縛条件から rΘ=x → r(d^2Θ/dt^2)=d^2x/dt^2

以上から F を消去すると

-mgsinθ=(I/r+mr)d^2Θ/dt^2 →
d^2Θ/dt^2 = -mgsinθ/(I/r + mr) < 0

つまり、当たり前ですが、坂道を上る速度(各加速度)は常に落ちてゆくということです。

F= -I/r x d^2Θ/dt^2 ですから、F は 坂を上る方向を向いていることになります。

以上です。

No.4 回答者： foomufoomu 回答日時： 2013/02/02 00:45

車輪が滑らずに転がるのも摩擦の作用ですが、それを「静止摩擦」とは呼びません。

また、一見滑ってないように見えていても、転がりの場合は、実は、少しずつ滑っています。
転がるものが、滑らないで転がる現象は、簡単に説明できるものではありません。

また、転がり摩擦は、あっさり無視できるものではありません。静止摩擦の1/20～1/3ぐらいの、けっこう大きい摩擦があります。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/02/01 14:57

No.2さんちょっと勘違いされています。

転がり摩擦とは車輪が床の上で「転がる」ことで
発生する様々な要因のエネルギーロスを力に
換算したものです。
転がり摩擦は車輪などでは小さくことが多く、
理想的には 0 にできるものです。この場合は無視してよいでしょう。
＃道がぬかるみとかでは転がり摩擦はとても大きくなります。

一方、互いに接触しているものに間に直接働く力が静止摩擦や
動摩擦です。

車輪が滑らず床を転がっているときは、それらが接触している点では互いに
静止しているので、静止摩擦が働きます。

静摩擦はエネルギーを消費しませんが強力です。
車輪が滑らずに回るのは静止摩擦があるからこそなのです。

No.2 回答者： foomufoomu 回答日時： 2013/02/01 13:40

「摩擦のない斜面（および、はじめの平面）」とは書かれていないので、転がり摩擦は存在するのでしょう。

（摩擦がゼロなら、あらゆる摩擦力が作用しません。）

となれば、転がり摩擦は、常に進行方向と逆の方向に作用します。斜面では斜め下向きです。

静止摩擦は、この条件では登場しません。
「はじめ床の上を滑らずに転がって」の部分が静止摩擦だと考えているのかもしれませんが、静止摩擦はそういう定義ではありません。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/02/01 06:20

車輪に動力がなければ上向きでしょうね。

重力も垂直抗力も車輪に対する力のモーメントは０なので、
坂を上るときに回転速度を落とす役割は静止摩擦しかない。
すると車輪を減速させる方向でないとおかしいです。