壁|---○---○---|壁
上の図のように、ばね定数Kの3つのバネ3本で連結された二つの粒子(質量はともにm)の運動のうちで、バネに平行な方向の成分だけに着目して、そのハミルトニアンを
重心座標 X=(x1+x2)/2 相対座標 x=x1-x2
を用いて書き直すと
H=[{-(hbar)^2/4m}(∂/∂X)^2 +KX^2]-[{(hbar)^2/m}(∂/∂X)^2 + 3Kx^2/4}]
となる。
ここから固有値を求めるわけですが、解説には
重心運動は 質量 2m ばね定数 2K
相対運動は 質量 m/2 ばね定数 3K/2
となってωo=√(K/m) ω=√(3K/m)
固有関数は、それぞれの固有関数の積、固有値は和であらわされるから、
εNn=(N+1/2)(hbar)ωo + (n+1/2)(hbar)ω
と書いてあります。
ここで二つ質問があって、
(1)重心運動のばね定数が 2K
相対運動の 質量 m/2 ばね定数 3K/2
という風にどうして表されるのか、
(2)なぜ調和振動子の固有値はそれぞれの和で表されるのか
というのが分かりませんでした。
どなたかご教授ください。お願いします。
No.2
- 回答日時:
行列で言う固有値を、例えばA+B=CとしてCφ=λφとした場合を実行すればいい。
Aの固有値をa、Bの固有値をb、a+b=λとすれば、
Cφ=(A+B)φ=Aφ+Bφ=aφ+bφ=(a+b)φ=λφ
となる。つまり、固有値の和。
ハミルトニアンも線形演算子のみで構成されている(中の形も非線形ではない)ため、行列と同様に考えられます。
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