慣性モーメントが何故以下のようになるか分かりません

下の図の長さl、質量mの一様な棒の慣性モーメントは

重心Gまわりで
Jg=(ml^2)/12

端点Oまわりで
Jo=(ml^2)/3

重心Gからhだけ離れた点Pまわりで
Jp=(ml^2)/12+mh^2


になるそうなのですが、何故このようになるのか分かりません。

よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2010/11/27 19:30

こんにちは。

まず、棒の線密度は、ｍ／Ｌ　です。

慣性モーメント　＝　∫線密度・支点からの距離^2・ｄｘ

Ｇ周り
Ｇの両側で線対称なので、片方の慣性モーメントの２倍です。
Ｊg　＝　２∫[x=0⇒L/2]（ｍ／Ｌ）ｘ^2ｄｘ　＝　２ｍ／Ｌ［１／３・ｘ^3］[x=0⇒L/2]
　＝　２ｍ／Ｌ［１／３・（Ｌ／２）^3　－　０］
　＝　ｍＬ^2／１２

Ｏ周り
Ｇ周りより簡単です。
Ｊo　＝　∫[x=0⇒L]]（ｍ／Ｌ）ｘ^2ｄｘ　＝　ｍ／Ｌ［１／３・ｘ^3］[x=0⇒L]
　＝　ｍ／Ｌ［１／３・Ｌ^3　－　０］
　＝　ｍＬ^2／３

Ｐ周り
Ｐと棒の各点との距離は、√（ｘ^2＋ｈ^2）
Ｊp　＝　２∫[x=0⇒L/2]（ｍ／Ｌ）（√（ｘ^2＋ｈ^2））^2 ｄｘ
　＝　２ｍ／Ｌ∫[x=0⇒L/2]（ｘ^2＋ｈ^2）ｄｘ
　＝　２ｍ／Ｌ［ｘ^3／３　＋　ｈ^2ｘ］[x=0⇒L/2]
　＝　２ｍ／Ｌ［（Ｌ／２）^3／３　＋　ｈ^2（Ｌ／２）　－　０］
　＝　２ｍ／Ｌ・（Ｌ／２^3／３　＋　２ｍ／Ｌ・ｈ^2（Ｌ／２）
　＝　ｍＬ^2／１２　＋　ｍｈ^2

No.5 回答者： do_ra_ne_ko 回答日時： 2010/12/01 20:58

すみません！

やっぱり分かりません。

(l-2h)/2から(1+2h)/2だったら分かるのですが・・・。

l/2-h,l/2+h
を導いた計算を教えて下さい。

よろしくお願いします！
************************************


(l-2h)/2から(1+2h)/2だったら分かるのですが・・・

(l-2h)/2＝１/2－ｈ、から　(1+2h)/2＝1/2＋ｈ　だったら分かるのですが・・・

割り算が分からないと言われても困ってしまいます。

この回答への補足

すみません・・・。

分かりません・・・。

補足日時：2010/12/02 08:17

No.4 回答者： egarashi 回答日時： 2010/11/29 20:51

>重心Gからhだけ離れた点P周り→[l/2-h,l/2+h]

l/2-h,l/2+h
になる理由が分かりません。
というか、どこからどこまでを表しているのかが分かりません。


とのことですが、単に棒の端から端までですよ♪
図を描いたらわかると思いますが、端っこは回転軸からl/2-h、l/2+hだけ離れてますよね？

この回答への補足

すみません！

やっぱり分かりません。

(l-2h)/2から(1+2h)/2だったら分かるのですが・・・。

l/2-h,l/2+h
を導いた計算を教えて下さい。

よろしくお願いします！

補足日時：2010/12/01 18:55

No.3 回答者： do_ra_ne_ko 回答日時： 2010/11/27 19:47

慣性モーメント＝moment of inertia

定義　Ｉ　＝　∫（ｒ＾２）ｄｍ　＝∫（ｘ＾２）ρＡｄｘ
　　ここで、　ｒ　はｄｍ　までの距離、　Ａは断面積、　ρは密度

題意より、　重心Ｇは長さＬの半分の位置、ρＡＬ＝ｍ

１　重心周りには、
　　　　Ｉ　＝　２Ａρ∫ｘ＾２ｄｘ　（ｒ＝０からｒ＝Ｌ/2)＝（２／３）Ａρ＊（Ｌ／２）＾３＝Ａρ（１/１２）Ｌ＾３＝m(1/12/)L^2

２　短点Ｏ周りには、
　　　　Ｉ　＝　２Ａρ∫ｘ＾２ｄｘ（ｒ＝０からｒ＝Ｌ）＝（２／３）Ａρ＊Ｌ＾３＝(２/３)AρＬ＾３＝ｍ（２/3)L^2

３　重心ｋらｈだけ離れた点Ｐの周りでは
　　　Ｉ　＝　２Ａρ∫ｘ＾２ｄｘ（ｒ＝０からｒ＝Ｌ/2+h）＋２Ａρ∫ｘ＾２ｄｘ（ｒ＝０からｒ＝Ｌ/2ーｈ）
　　　　　＝(２/３)ρＡ（Ｌ／２－ｈ）＾３＋（２/３）ρＡ（Ｌ/2＋h)^3
＝（２/3)m (L^2/4＋6ｈ＾2）　
　　　　＝ｍＬ＾２/12+4mh^2

この回答への補足

点Ｐまわりで
何故（ｒ＝０からｒ＝Ｌ/2+h）と（ｒ＝０からｒ＝Ｌ/2ーｈ）になるか分かりません。

ｒ＝Ｌ/2+hとｒ＝Ｌ/2ーｈになる理由が分かりません。
よろしくお願いします。

補足日時：2010/11/29 19:29

No.2 回答者： egarashi 回答日時： 2010/11/27 19:41

画像に合わせて説明します。

慣性モーメントJは次式で与えられます。
J=∫x^2dm (1)

ここで、
x：回転軸からの距離
dm:微小要素の質量
です。

dmは次式で表されます。
dm=ρAdx (2)

ここで、
ρ：棒の密度
A：棒の断面積
dx：棒の長さ
です。

(2)を(1)に代入します。
J=∫x^2ρAdx (3)

今、ρAは定数なので、∫の前に出しときます。
J=ρA∫x^2dx (4)

後は積分区間の問題です。
1.重心G周り→[-l/2,l/2]
2.端点O周り→[0,l]
3.重心Gからhだけ離れた点P周り→[l/2-h,l/2+h]
でそれぞれ積分すれば導けるはずです。
3は平行軸の定理というやつですね。

ただし、棒の質量mは次式で与えられます。
m=ρAl (5)

積分後、式(5)でρとAを消去しておきます。

この回答への補足

重心Gからhだけ離れた点P周り→[l/2-h,l/2+h]

l/2-h,l/2+h
になる理由が分かりません。
というか、どこからどこまでを表しているのかが分かりません。

よろしくお願いします。

補足日時：2010/11/29 19:30