当たりを3回引くまでの試行回数は？

ちょっとわからない問題があったので、質問をさせてくだい。
うろ覚えなので、正確な問題文とは言えないのですが、よろしくお願いいたします。


ある袋の中にくじが入っており、当たりを引く確率は40％です。
くじを１本ひき、当たりかはずれかを見ていきます。

引いたくじは袋の中に戻してから再度くじを引いていくというルールです。

この時、合計で3本当たりを引くにはくじを何回引けばよいか？

という問題です。

No.2 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/03/30 20:47

当たりを引く確率を p = 0.4 として、これを独立に反復するとします。

n 回 (n≧3) 引いて初めて 3 回当たる確率 q(n) は、
n-1 回中 2 回当たり、かつ、n 回目に当たりを引く確率です。
n-1 回中 2 回当たる確率は、二項確率(独立反復事象の生起確率)ですね。
q(n) = {(n-1)Ｃ2 p^2 (1-p)^(n-1-2)} p
= {(n-1)(n-2)/2} {p/(1-p)}^3 (1-p)^n
= (n-1)(n-2) (4/27) (0.6)^n となります。

q(3) + q(4) + … + q(n) は、n をどんなに大きくしても、
= 1 にはならず、「くじを何回引けばよいか？」に答えはありません。
永遠に 3 回当たらないことだって、ありえるんです。

だいたい何回くらい引いたらよさそうか？の大雑把な目安として、
3 回目が当たる回数の期待値 Σ[n=3→∞] n q(n) を計算する
という手もあるかなとは思いますが、
期待値回数引けば当たるというものでもありませんし。

それとも、Σ[n=3→M] q(n) > 1/2 となる M でも求めてみるかな？

No.1 回答者： soixante 回答日時： 2013/03/30 19:01

正しい問題が必要です。

3回で終わる場合
4回で終わる場合

とかまず考えてみましょう。